【数论】快速幂及取余wikioi1497,2952-优快云博客

本文介绍了快速幂算法及其在计算幂次方和解决实际问题中的应用。通过递归和非递归方式实现快速幂，有效降低了时间复杂度。并提供了两个实例问题的解决方案。

前不久接触了数论，发现。。。。果然数论好难啊！！！！不过还是有一些简单的，首先快速幂及取余是要掌握的，在求幂时，如果用朴素算法，时间是O(n)，而快速幂则是O(logn)，举个例子，如果用朴素算法计算a^41，就需要做41 次乘法运算。时间复杂度O(n)。
使用分治算法，就有：a ^ 41＝(a ^ 20) ^ 2 * a，a ^ 20＝(a ^ 10) ^ 2，a ^ 10＝(a ^ 5) ^ 2，a5＝(a ^ 2) ^ 2 * a，a2＝(a)^2。只需7 次乘法运算。时间复杂度O(logn)，快速幂有递归形式及非递归形式

a^b的形式，递归版

long long quickpow(long long a, long long b)
{
    if (b == 0) return 1;//a^0 = 1
    long long r = quickpow(a, b / 2);//分治
    r *= r;//偶次幂
    if (b % 2)//如果是奇次幂，还需多乘一次
    r = r * a;
    return r;
}

非递归：

long long quickpow(long long a, long long b)
{
    long long d = 1, t = a;
    while (b > 0)
    {
        if (t == 1) return d;
        if (b % 2)
        d = d * t;
        b = b / 2;
        t = t * t;
      } return d;
}

快速幂取模 a^b % n:

long long quickdiv(long long a, long long b, long long n)
{
    long long d=1, t=a;
    while (b>0)
    {
        if (t==1) return d;
        if (b%2)
        d=d*t%n;
        b=b/2;
        t=t*t%n;
    } return d;
}

下面是一些题

wikioi1497：http://codevs.cn/problem/1497/

1497 取余运算

时间限制: 1 s 　　空间限制: 128000 KB　　题目等级 : 钻石 Diamond

题目描述 Description

输入b，p，k的值，编程计算bp mod k的值。其中的b，p，k*k为长整型数(2^31范围内）。

输入描述 Input Description

b p k

输出描述 Output Description

输出b^p mod k=?

=左右没有空格

样例输入 Sample Input

2 10 9

样例输出 Sample Output

2^10 mod 9=7

【代码】：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
long long b, p, k;
long long qpow()
{
    long long a = p;
    long long d = 1, t = b;
    while(a > 0)
    {
        if(t == 1)return d % k;
        if(a % 2)d = d * t % k;
        a = a / 2;
        t = t * t % k;
    }
    return d;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld", &b, &p, &k);
    printf("%lld^%lld mod %lld=%lld\n",b,p,k,qpow());
    return 0;
}

View Code

wikioi 2952：http://codevs.cn/problem/2952/

2952 细胞分裂 2

时间限制: 2 s　　空间限制: 16000 KB　　题目等级 : 钻石 Diamond

题目描述 Description

著名生物学家F博士发现了一种单细胞生物。

它长得像蚯蚓，分裂速度极快（每分钟一次），分裂也像蚯蚓一样，断成两段，再长成。

它很好斗，只要q只聚集在一起，就会q只一群打起来，当然都会打死。

假设一开始有1只，求a分钟后有多少只单细胞蚯蚓？

输入描述 Input Description

两个正整数A Q

输出描述 Output Description

答案

样例输入 Sample Input

4 5

样例输出 Sample Output

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于50%数据，A<=20,Q<=100.

对于全部数据，A<=2*10^9,Q<=10^8.

【代码】：

#include<cstdio>
using namespace std;
long long a,q;
long long qpow()
{
    long long d = 1, t = 2;
    while(a > 0)
    {
        if(t == 1)return d % q;
        if(a % 2)d = d * t % q;
        a /= 2;
        t = t * t % q;
    }
    return d;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld", &a, &q);
    printf("%lld",qpow());
    return 0;
}