带修改莫队注意

左右端点都要在块内比较!!!
再还要比较时间!!!
块的大小\(n^\frac{2}{3}\)

转载于:https://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/8467909.html

<think>嗯,用户想了解什么是。首先,我需要回忆算法的基本概念。算法是用于处理区间查询问题的离线算法,由涛提出,所以叫。 用户可能知道一些基础的算法,比如暴力法,但相比暴力有什么优势呢?对了,通过分块和排序来优化时间复杂度,将复杂度从O(n²)降到O(n√n)。需要解释清楚分块的思想,以及如何排序查询。 然后,的核心是处理多个区间查询,比如数组上的查询,如何通过调整左右指针来减少重复计算。应该举一个具体的例子,比如处理区间和或者区间内不同元素的数量,这样用户更容易理解。 用户可能想知道的适用场景。比如离线查询、不修改的情况。如果有修改的话,可能需要,但这是进阶内容,可能暂时不需要深入,但可以提一下扩展。 需要注意的实现步骤,包括分块大小、排序方式、移动指针的策略。可能还需要提到不同的变种,比如普通、回滚,但主要介绍基础版本。 要确保语言通俗易懂,避免过多数学公式,但按照用户的要求,行内公式用$...$,独立公式用$$...$$。例如,分块的大小通常是√n,所以块的大小是$\sqrt{n}$,每个块处理查询的排序方式是按右端点递增或递减,根据块奇偶性决定,这样减少指针移动次数。 可能用户的应用场景是算法竞赛或者面试题,所以需要强调的应用实例,比如统计区间内不同数的个数,或者满足某些条件的子区间数目。可以举一个例子,比如查询区间[l, r]中不同数字的数量,用如何高效处理。 还要指出的优缺点。优点是优化时间复杂度,适用于离线查询;缺点是不支持在线,或者修改操作处理起来复杂。可能还要比较其他方法,比如前缀和、线段树等,但在某些情况下更优。 最后,总结的基本思想,分块、排序、移动指针,以及适用的问题类型。确保回答结构清晰,逐步引导用户理解的原理和应用。</think>算法(Mo's Algorithm)是一种用于高效处理**离线区间查询问题**的算法,由涛(Tao Mo)于2009年提出。它通过巧妙的分块和排序策略,将暴力算法的$O(n^2)$时间复杂度优化至$O(n\sqrt{n})$,适用于多次区间查询的场景。 --- ### **核心思想** 1. **分块处理** 将长度为$n$的序列分成$\sqrt{n}$个块,每个块大小为$\sqrt{n}$。例如,当$n=16$时,分成4个块,每块4个元素。 2. **排序查询** 对所有查询区间$[L_i, R_i]$按以下规则排序: - 按**左端点$L_i$所在的块号**升序排列。 - 若左端点在同一块,则按**右端点$R_i$升序**(偶块)或**降序**(奇块)排列,以减少指针移动次数。 3. **双指针滑动** 维护当前区间$[curL, curR]$,通过逐步移动左右指针处理每个查询,利用相邻查询的区间重叠部分避免重复计算。 --- ### **算法步骤** 1. 初始化当前区间$curL=0$, $curR=-1$(空区间)。 2. 按排序后的顺序遍历所有查询: - **扩展区间**:移动$curL$和$curR$至目标区间$[L_i, R_i]$。 - **记录结果**:在移动过程中统计所需信息(如元素出现次数、最大值等)。 --- ### **示例:统计区间内不同数字的数量** 假设序列为$[1, 3, 2, 3, 1]$,查询区间$[1,3]$(元素为$3,2,3$),不同数字有$2$个(3和2)。 **处理流程**: 1. 分块:块大小为$\sqrt{5} \approx 2$,分为3块。 2. 排序查询:假设查询已排序为$[0,1]$, $[1,3]$, $[2,4]$。 3. 移动指针并统计: - 从空区间开始,向右扩展$curR$到1,统计数字1。 - 继续扩展$curR$到3,统计3、2、3,记录不同数字数量。 --- ### **时间复杂度分析** - 每块内左指针最多移动$\sqrt{n}$次,总移动次数为$O(q\sqrt{n})$($q$为查询数)。 - 右指针在同一块内单调移动,总移动次数为$O(n\sqrt{n})$。 - **整体复杂度**:$O((q + n)\sqrt{n})$,通常简化为$O(n\sqrt{n})$。 --- ### **适用场景** 1. **离线查询**:需预先知道所有查询。 2. **无修改操作**:若需支持修改,需使用(复杂度$O(n^{\frac{5}{3}})$)。 3. **典型问题**: - 区间内不同元素数量(如LeetCode 992)。 - 区间众数、区间逆序对数等。 --- ### **优缺点** - **优点**:代码简单,易于实现;在离线查询中效率显著高于暴力法。 - **缺点**:不支持在线查询;对含修改的问题需额外处理。 --- ### **代码框架(以统计不同元素为例)** ```python block_size = int(n**0.5) queries = sorted(enumerate(queries), key=lambda x: (x[1][0]//block_size, x[1][1] if (x[1][0]//block_size)%2==0 else -x[1][1])) curL, curR = 0, -1 count = {} ans = [0] * q for idx, (L, R) in queries: while curL > L: curL -= 1 count[A[curL]] = count.get(A[curL], 0) + 1 while curR < R: curR += 1 count[A[curR]] = count.get(A[curR], 0) + 1 while curL < L: count[A[curL]] -= 1 if count[A[curL]] == 0: del count[A[curL]] curL += 1 while curR > R: count[A[curR]] -= 1 if count[A[curR]] == 0: del count[A[curR]] curR -= 1 ans[idx] = len(count) ``` --- 通过分块排序和指针移动,算法将区间查询的复杂度显著降低,是解决离线区间问题的经典工具。
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