使用 Lambda 表达式编写递归五：推导装配脑袋的 Fix-优快云博客

本文从λ演算入手，详细推导了不动点组合子的实现过程，并将其转化为C#代码，展示了如何通过数学变换得到简洁高效的递归函数。

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《Print Gallery》作者：埃舍尔

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上一篇文章最后提到，装配脑袋给出的 Fix 函数精简到极致：

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static <int, long> Fix(<<int, long>, <int, long>> f) {
    return x => f(Fix(f))(x);
}

下面我们看下是怎么推导出的，从 λ 演算入手：

λ 演算

根据 β-归约存在以下等式：

1	(λx.x(fix x)) f = f(fix f)

1	f(fix f) = fix f

由以上两个等式得出：

1	(λx.x(fix x)) f = fix f

左右互换下：

1	fix f = (λx.x(fix x)) f

根据 c a == d a 时 c == d，得出：

1	fix = λx.x(fix x)

将 x(fix x) η-展开为 λn.x(fix x)n：

1	fix = λx.λn.x(fix x)n

再变换一步：

1	fix = λx.λn.x(fix(x))(n)

Fix 是不动点算子，根据前文的假定和推断它的类型是：Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>。（基于输入是 int，返回值是 long 的假定）

借助前言及基础一文中总结出的小规律，可以写出：

1	<<<int, long>, <int, long>>, <int, long>> fix = x(fix(x))(n)

当然这个是编译不通过的，让我们把它改造成一个方法：

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static <int, long> fix(<<int, long>, <int, long>> x) {
    return n => x(fix(x))(n);
}

将 int 改为 T、long 改为 TResult，抽象为泛型通用版本：

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static <T, TResult> Fix<T, TResult>(<<T, TResult>, <T, TResult>> x) {
    return n => x(Fix(x))(n);
}

和装配脑袋的对比下，一样吧？好像参数名不同，没关系，把参数 x 更改为 f：

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static <T, TResult> Fix<T, TResult>(<<T, TResult>, <T, TResult>> f) {
    return n => f(Fix(f))(n);
}

再比对下吧，一样了吧！（如果还是看不出来的话，把 n 更改 x 试试）

其实呢，我是反推出来的，先从装配脑袋的 Fix 得出：

1	fix = λx.λn.x(fix(x))(n)

然后运用 η-变换：λn.x(fix(x))(n) 简化为 x(fix(x))：

1	fix = λx.x(fix(x))

两侧应用 f：

1	fix f = (λx.x(fix(x))) f

运用 β-归约：

1	fix f = f(fix(f))

调整下：

1	fix(f) = f(fix(f))

正是不定点算子的定义。

把这个过程序反过来，就是本文 λ 演算 部分的内容。（如果用五个字评价我的这篇文章就是：事后诸葛亮。）

至于装配脑袋怎么推出的这个 FIX，我就无从得知了。

转载于:https://www.cnblogs.com/ldp615/archive/2013/04/11/recursive-lambda-expressions-5.html