求取多解的非线性代数方程所有数值解的方法-Matlab（转载小木虫）

0. 引言 一些非线性方程在实数范围内存在多解，本帖要讨论的正是求得所有的这些解的方法。多解方程，其解的个数不同，求解难度也不同，本帖将针对解个数较少和解个数较多的两种情况，各举一例进行讨论，并提出相应的方法和代码，作者希望本帖提出的方法和代码能具有较强的普适性。 本帖所采用软件及其版本： （1）1stOpt 1.5 （2）MATLAB 2010a （3）Maple 18 1. 解个数较少的情况 例：求出如附图1所示方程的全部解（方程出处：http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=9911763&fpage=1）。 具体步骤如下： 步骤1：画出方程图形，直观上确定解的个数 为了画出方程图形，首先须正确输入该方程，如果输入的原始方程都是错误的，就更不用谈结果的正确性。 因此，在步骤1中还包括一个方程输入预检验的步骤。 步骤1.1：方程输入预检验 根据附图1，可将原始方程写为： y=(25-(3/25)*k)^2-9.8*k*tanh((1/10)*k)*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k)^2))/sinh(.1*k)^4)  由于待求解方程形式较为复杂，须检查方程的输入是否正确。这里用到的软件是Maple，利用该软件强大的二维显示功能，可判断方程输入的正误。 将上述方程在Maple中的显示结果如附图2所示。 仔细比对可知，原方程输入无误。 步骤1.2：方程图形绘制 绘制原方程的图形曲线时，横轴坐标的范围尽量大一些；同时绘制出直线y=0，该直线与原方程曲线的交点，即为方程的解。 对于本例，MATLAB代码如下：CODE: clear all;clc n=5000;    k=linspace(-1000,5000,n); y=(25-(3/25)*k).^2-9.8*k.*tanh((1/10)*k).*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k).^2))./sinh(.1*k).^4); figure plot(k,y,'b',[min(k) max(k)],[0 0],'r'),axis([min(k) max(k) min(y) max(y)]); 上述代码中，n表示绘图时散点的个数，n应当取为较大的数值，以防止漏解。 上述代码结果如附图3所示。从附图3中可见，原方程在k<100，以及k=1000附近存在两个解；此外，仔细观察可见，在k=0左右的细微局部也存在解，将此局部放大如附图4，可见在这细微局部内，存在两个解。 步骤2：求解 对于这种方程，MATLAB的fsolve函数可高效求解，根据步骤1.2中的分析，初值选为-0.1，0.1，100和1000，具体代码如下：CODE: