POJ 2154 Color [Polya 数论]

最新推荐文章于 2018-03-06 20:07:00 发布

weixin_33911824

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本文探讨了一种特定的计数问题，通过数学方法简化计算过程，并利用算法优化技巧提高效率。介绍了如何使用莫比乌斯反演和欧拉函数进行优化，并提供了具体的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

和上题一样，只考虑旋转等价，只不过颜色和珠子$1e9$

一样的式子

$\sum\limits_{i=1}^n m^{gcd(i,n)}$

然后按$gcd$分类，枚举$n$的约数

如果这个也化不出来我莫比乌斯反演白♂学了

最后结果为

$\frac{1}{n}\sum\limits_{d \mid n}n^d \phi (\frac{n}{d})$

然后$\frac{1}{n}$可以放进去避免除法

然后欧拉函数显然需要现算，上午$T$了，改成筛质数之后算就好了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,P;
int p[N];
bool notp[N];
void sieve(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!notp[i]) p[++p[0]]=i;
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
            notp[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
inline int Pow(int a,int b){
    int re=1;
    a%=P;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%P)
        if(b&1) re=re*a%P;
    return re;
}
inline int phi(int n){
    int re=n,m=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=p[0]&&p[i]<=m&&p[i]<=n;i++) if(n%p[i]==0){
        re=re/p[i]*(p[i]-1);
        while(n%p[i]==0) n/=p[i];
    }
    if(n>1) re=re/n*(n-1);
    return re%P;
}
int main(){
    freopen("in","r",stdin);
    int T=read();
    sieve(32000);
    while(T--){
        n=read();P=read();
        int m=sqrt(n),ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++) if(n%i==0){
            ans+=Pow(n,i-1)*phi(n/i)%P;
            if(i*i!=n) ans+=Pow(n,n/i-1)*phi(i)%P;
            ans%=P;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}