本文分为入门和进阶两部分。入门部分介绍了二叉树的概念，如根结点、叶子结点等，还讲解了创建二叉树和递归遍历二叉树的方法。进阶部分重点介绍二叉搜索树，包括其性质、插入和删除结点的操作，以及非递归遍历二叉树的方法。
往期
前言
本文分为入门和进阶两部分，建议有经验的读者直接阅读进阶部分。
入门
关于二叉树的概念
先说几个定义，看下面这张图:
橙色的圆代表的是根结点，构造一棵树其实也就是构造一棵树的根结点。橙色边框的圆代表叶子结点(也叫外部结点external node), 它没有子结点。灰色边框的圆代表内部结点，它至少有一个子结点。
值得注意的是，高度和深度都是对于结点而言的，一棵树的高度和深度其实代表的是根结点的高度和深度。
本文定义根结点的深度为0, 叶子结点的高度为0， 根结点的高度等于树中所有结点深度的最大值。(你也可以把高度和深度认为是同一个值，但是本文还是根据国外教材的定义做出了区分)
还有个概念叫做度，代表某个结点子结点的数量，叶子结点的度为0, 对于二叉树而言每个结点的度最大值为2。
有两种典型的二叉树: 满(full)二叉树和完全(complete)二叉树。用定义说有点抽象，看下面的图像, 这就是一棵满二叉树:
这是一棵完全二叉树:
这棵就不是完全二叉树, 把value为K的结点移到虚线位置才是完全二叉树:
创建二叉树
如上文所说，创建二叉树其实也就是构造其根结点,下面是结点的数据结构，记住它, 我们后面会用到。
function Node(val) {
this.val = val;
this.left = null;
this.right = null;
}
复制代码接下来我们先用层次遍历(level order)生成的数组来创建二叉树。
层次遍历顾名思义就是一层一层去的遍历树的所有结点，比如以下的完全二叉树:
1
/ \
2 3
/ \ /
4 5 6
复制代码层次遍历得到的数组便为[1, 2, 3, 4, 5, 6]
以下的二叉树:
1
/ \
2 3
/ /
4 5
复制代码层次遍历得到的数组为[1, 2, 3, 4, null, 5]
如果你以前没有接触过递归，下面的代码理解起来可能会有些许困难(不过没关系，你可以先继续读下去)。核心思想就是先构建好最左边的分支，再去添加剩余的结点。
function buildCompleteTree(arr, i, root) {
if (i < arr.length) {
root = new Node(arr[i]);
// 如果难以理解的话，试试打印i的值 :)
root.left = buildCompleteTree(arr, (i * 2) + 1, root.left);
root.right = buildCompleteTree(arr, (i * 2) + 2, root.right);
}
// 创建二叉树其实也就是构造其根结点
return root;
}
复制代码让我们来试一试
const a = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
const r = buildCompleteTree(a, 0, new Node());
// 当然没有什么问题
console.assert(r.left.right.val === 5);
复制代码递归遍历二叉树
好了我们有一棵二叉树了，接下来我们试着用不同的方式去遍历它。
二叉树有三种常见的遍历方式，分别是前序，中序和后序, 以下面的二叉树为例:
1
/ \
2 3
/ \ / \
4 5 6 7
/ \ \ /
8 9 10 11
复制代码让我们定义一些操作:
- 操作A: 访问某个结点，再访问该结点的左子结点，然后访问该子结点的左子结点，直到叶子结点则执行操作B
- 操作B: 访问某个结点的父结点的右子结点, 若该父结点的右子结点为叶子结点，访问该叶子结点。若该父结点的右子结点不为叶子结点，则执行操作A
*注: 访问在这里代表的是访问结点并记录结点的值, 即下文中的result.push
前序遍历，就是对根结点进行操作A, 得到的数组就是[1, 2, 4, 8, 9, 5, null, 10, 3, 6, null, null, 7, 11]。
所以递归的写法就是这样的:
function preorderTraversal(root, result) {
if (root) {
result.push(root.val);
// 访问结点的左子结点，直到叶子结点
preorderTraversal(root.left, result);
preorderTraversal(root.right, result);
}
return result;
}
复制代码中序遍历的操作为:
- 操作A: 访问某个结点的最左叶子结点，并执行操作B
- 操作B: 访问某个结点的父结点, 若该父结点的右子结点为叶子结点，访问该叶子结点。若该父结点的右子结点不为叶子结点，则执行操作A
中序遍历，就是对根结点进行操作A, 得到的数组就是[8, 4, 9, 2, null, 5, 10, 1, null, 6, null, 3, 11, 7]。
function inorderTraversal(root, result) {
if (root) {
// 访问某个结点的最左叶子结点, 然后call stack弹出，访问该叶子结点的父结点
inorderTraversal(root.left, result);
result.push(root.val);
inorderTraversal(root.right, result);
}
return result;
}
复制代码后序遍历的操作为:
- 操作A: 访问某个结点的最左叶子结点，并执行操作B
- 操作B: 访问某个结点父结点的右子结点, 若该父结点的右子结点为叶子结点，访问该叶子结点，然后访问该父结点。若该父结点的右子结点不为叶子结点，则执行操作A
后序遍历，就是对根结点进行操作A, 得到的数组就是[8, 9, 4, null, 10, 5, 2, null, null, 6, 11, 7, 3, 1]。
function postorderTraversal(root, result) {
if (root) {
postorderTraversal(root.left, result);
// 访问某个结点父结点的右子结点
postorderTraversal(root.right, result);
result.push(root.val);
}
return result;
}
复制代码进阶
关于二叉搜索树
由于单纯讨论的二叉树的结点插入和删除没有太大的现实意义，笔者还是决定介绍二叉搜索树的结点插入和删除。
二叉搜索树也叫二叉查找树, 或是二叉排序树，简写为BST(Binary Search Tree)
它有个非常重要的性质: 若左子树不为空，则左子树上所有结点的值小于等于其根结点的值; 若右子树不空，则右子树上所有结点的值大于等于其根结点的值。例如:
5
/ \
3 7
/ \ / \
2 5 6 8
复制代码由这个性质不难推断出BST中序遍历得到的序列是升序的。
BST插入结点
由于BST的有序性质，我们只需要给定value就可以做到插入结点, 以上面的BST为例，插入value分别为4, 5, 10的结点
function insertIntoBST(root, val) {
if (!root) {
// 找到叶子结点，赋值为左/右结点
return new Node(val);
}
// 你也可以把与根结点value相同的结点放在根结点的右子树
if (val <= root.val) {
root.left = insertIntoBST(root.left, val);
} else if (val > root.val) {
root.right = insertIntoBST(root.right, val);
}
return root;
}
复制代码const a = [5, 3, 7, 2, 5, 6, 8];
const r = buildCompleteTree(a, 0, new Node());
insertIntoBST(r, 4);
insertIntoBST(r, 5);
insertIntoBST(r, 10);
// 当然依然是有序的
console.warn(inorderTraversal(r, []));
复制代码还有一种写法虽然增加了一些代码量, 但是可以少递归一层
function insertNode(root, val) {
if (val <= root.val) {
if (!root.left) {
root.left = new Node(val);
} else {
insertNode(root.left, val);
}
} else if (val > root.val) {
if (!root.right) {
root.right = new Node(val);
} else {
insertNode(root.right, val);
}
}
return root;
}
复制代码BST删除结点
删除结点需要分三种情况讨论:
- 第一种是删除的结点为叶子结点，这种情况非常简单，将该叶子结点置为null即可。
- 第二种是删除的结点有左结点/右结点，这种情况也非常简单，将删除的结点置为该子结点即可。
- 第三种是删除的结点有左右两个子结点，这种情况就比较复杂了，需要将删除结点的右子结点的最左叶子结点, 置为删除结点的左子结点, 再将删除结点置为删除结点的右子结点。
8
/ \
6 12
/ \ / \
4 7 9 13
/ \ \ /
2 5 8 13
复制代码假如我们要删除value为12的那个结点, 删除后的BST为:
8
/ \
6 13
/ \ /
4 7 13
/ \ \ /
2 5 8 9
复制代码function deleteNode(root, val) {
if (!root) {
return null;
}
if (root.val === val && (!root.left || !root.right)) {
return root.left || root.right;
} else if (root.val === val) {
let temp = root.right;
while (temp.left) {
temp = temp.left;
}
// 删除结点的右子结点的最左叶子结点, 置为删除结点的左子结点
temp.left = root.left;
return root.right;
}
if (val < root.val) {
// 若为叶子结点，置为null, 否则置为给定的结点
root.left = deleteNode(root.left, val);
} else if (val > root.val) {
root.right = deleteNode(root.right, val);
}
return root;
}
复制代码非递归遍历二叉树
非递归的写法也是需要掌握的，注意注释里的内容!
function preorderTraversal(root) {
const result = [];
const stack = [root];
while(stack.length > 0) {
const current = stack.pop();
result.push(current.val);
// 先push右子结点，保证先访问到左子结点(后push的先pop)
stack.push(current.right);
stack.push(current.left);
}
return result;
}
复制代码function inorderTraversal(root) {
const result = [];
const stack = [];
let current = root;
while (current || stack.length > 0) {
while (current) {
stack.push(current);
current = current.left;
}
// 访问某个结点的最左叶子结点, 然后call stack弹出，访问该叶子结点的父结点
current = stack.pop();
result.push(current.val);
// 若该父结点的右子结点为叶子结点，访问该叶子结点。若该父结点的右子结点不为叶子结点，则执行操作A
current = current.right;
}
return result;
}
复制代码function postorderTraversal(root) {
const result = [];
// 保证根结点在结果的末尾
const stack = [root];
while (stack.length > 0) {
const current = stack.pop();
if (current) {
result.unshift(current.val);
stack.push(current.left);
// 后push右子结点，保证先访问到左子结点(先push的先unshift)
stack.push(current.right);
}
}
return result;
}
复制代码好了，以上就是关于二叉树CRUD的全部内容。
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