二分图及其~~谜一样的~~名词-优快云博客

本文详细介绍了图论中的核心概念，包括匹配、点支配集、点独立集等，并阐述了这些概念之间的内在联系及性质。此外，还探讨了点覆盖集、边覆盖集的概念及其与匹配的关系。

匹配

设$G = <V, E>$, 若$E*(E^{\star} \in E)$中任何两条边均不相邻, 则称E为G中边独立集, 也称E为G中的匹配(Matching)
若在E中加入任意一条边所得集合都不是匹配, 则称E为极大匹配
边数最多的匹配称为最大匹配

通俗的来讲，就是选出一些边，使得任意两个边没有公共顶点。

点支配集

定义支配与支配集设图$G = <V, E>$,$V^{\star} \subseteq V$, 若对于任意$v_i \in V - V^{\star}$,存在$v_j \in V^{\star}$,使得: $(vi, vj) \in E$, 则称$v_j$支配$v_i$, 并称$V^{\star}$为$G$的一个支配集;
若支配集$V^{\star}$的任何真子集都不是支配集, 则称$V^{\star}$是极小支配集
顶点数最少的支配集称为最小支配集;

通俗的来讲，就是一个点，要么是在$V^{\star}$，要么是与$V^{\star}$相邻。可以相邻

然后最小支配集就是选出符合上述条件的集合中元素最少的。从从属关系上来看，最小支配集是极小支配集的一种。一定要搞清楚极小****是不可拆分的，最小***是最少点数的，也就暗示了同样不可拆分qwq。

支配集的性质

若$G$中无孤立顶点(度数为$0$的顶点)，则存在一个支配集$V^{\star}$，使得$G$中除$V^{\star}$外的所有顶点也组成一个支配集(即$V - V^{\star}$也是一个支配集)。

这条性质就是类似于反支配的意思，不过是有前提的。

若G中无孤立顶点(度数为$0$的顶点)，$ V_1^{\star}$为极小支配集，则$G$中除$V_1^{\star}$外的所有顶点也组成一个支配集(即$V – V1^{\star}$也是一个支配集)。

上面这就是反支配的一种条件。自我感觉是类似与二分图两部分点互相支配的味道。

点独立集

设图$G = <V, E>, V^{\star} \subseteq V$, 若$V^{\star}$中任何两个顶点均不相邻,
则称$V^{\star}$为$G$的点独立集, 或称独立集
若在$V^{\star}$中加入任何顶点都不再是独立集, 则称$V^{\star}$为极大点独立集
顶点数最多的点独立集称为最大点独立集
最大点独立集的顶点数称为点独立数。

覆盖与点覆盖集

设$G = <V, E>$,$V^{\star} \subseteq V$, 若对于任意$e \in E$,存在$v \in V^{\star}$, 使得:$ v$与$e$相关联, 则称$v$覆盖$e$, 并称$V^{|star}$为$G$的点覆盖集或简称点覆盖若点覆盖$V^{\star}$的任何真子集都不是点覆盖, 则称$V^{\star}$是极小点覆盖;
顶点个数最少的点覆盖称为最小的点覆盖
最小点覆盖的顶点数称为点覆盖数。

简单来说，就是点盖边，和点支配集（点盖点）类似。所有的边至少有一个端点在所选的点覆盖集中。同样$V^{\star}$中的点可以相邻。

点支配集、点独立集、点覆盖集之间的联系

定理：设$G = <V, E>$中无孤立点，则$G$的极大点独立集都是$G$的极小支配集。逆命题不成立(即极小支配集未必是极大独立集。

一个独立集是极大独立集，当且仅当它是一个支配集。
定理：设$G = <V, E>$中无孤立点, $V*(V^{\star} \subset V)$为$G$的点覆盖,
当且仅当$V-V^{\star}$为$G$的点独立集。
 推论：设$G$是$n$阶无孤立点的图，则$V^{\star}$是$G$的极小(最小)点覆盖，当且仅当$V-V^{\star}$是$G$的极大(最大)点独立集，从而有"极小(最小)点覆盖集的元素个数+极大(最大)点独立集中的元素个数=顶点个数"。

稍微加些自己的理解。

对于定理一：对于那些不再极大点独立集的点，肯定不相邻。所以不会互相支配。然后又因为极大点独立集已经不可以增加元素，所以剩下的可以支配在极大点独立集中的电，而且不可能在增加，因为图中只有这两种点qwq

对于定理二：对于相邻的两个点在极大点独立集，他们之间的距离最大是2条边（如果是三条边，则在中间还可以增加可以增加一个点，不符合极大点独立集性质，这里比较不严谨qwq），然后肯定是能支配的，然后不一定是极小点支配集（切记）

对于定理三：因为图中只有这两种点，所以节点数和就等于所有的节点数

补充一条

设$G = <V, E>$中无孤立点, 则$G$的极大点独立集都是$G$的极小支配集

这与上面的定理2并不矛盾，这一条被囊括在上面的定理2中。

定理设$G = <V, E>$中无孤立点, $V^{\star}(V^{\star} \subset V)$为$G$的点覆盖,
当且仅当$V-V^{\star}$为$G$的点独立集。
证：
必要性
假设: 存在$v_i,v_j \in V - V^{\star}$, 且$(vi, vj) \in E$。
由于顶点$v_i$和$v_j$都不在$V^{\star}$中, 这显然与“$V^{\star}$是点覆盖”相矛盾。
所以, $V - V^{\star}$为点独立集。
充分性
假设: $V - V^{\star}$是点独立集。
因此, 任意一条边的两个端点至少有一个在$V^{\star}$中。
由定义可知: $V^{\star}$是$G$的点覆盖。

边覆盖集与匹配(都是边的集合)

覆盖;

定义覆盖与边覆盖集
设图$G = <V, E>$,$ E^{\star}\subseteq E$, 若$v \in V$,$e\inE^{\star}$, 使得:$ v$与$e$相关联, 则称$e$覆盖$v$, 并称$E^{\star}$为边覆盖集, 或简称边覆盖。若边覆盖$E^{\star}$的任何真子集都不是边覆盖, 则称E*是极小边覆盖。
边数最少的边覆盖集称为最小的边覆盖。
最小的边覆盖所含的边数称为边覆盖数。

简单地说，就是使得$V$中的节点都是$E^{\star}$中边的端点，可以一个顶点被多条边覆盖。

匹配

定义匹配
设$G = <V, E>$, 若$E^{\star}(E^{\star} \in E )$中任何两条边均不相邻。
则称$E^{\star}$为G中边独立集, 也称$E^{\star}$为$G$中的匹配
若在$E^{\star}$中加入任意一条边所得集合都不是匹配, 则称$E^{\star}$为极大匹配。
边数最多的匹配称为最大匹配。
最大匹配的边数称为边独立数或匹配数。