解析几何习题

【预备知识】已知直线\(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0\)；\(l_2：A_2x+B_2y+C_2=0\)；

则①\(l_1\perp l_2\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0\)；说明如下：

当两条直线的斜率都存在时，\(k_{l_1}=-\cfrac{A_1}{B_1}\)，\(k_{l_2}=-\cfrac{A_2}{B_2}\)，

由\(k_{l_1}\cdot k_{l_2}=-1\)，即\((-\cfrac{A_1}{B_1})\cdot (-\cfrac{A_2}{B_2})=-1\)，

整理得到$ A_1A_2+B_1B_2=0$；

当两条直线中的一条斜率不存在时，则另一条必然斜率为\(0\)，

比如\(B_2=0\)，则直线\(l_2\)的斜率不存在，则直线\(l_2\)与\(x\)轴垂直，

那么由互相垂直可知，直线\(l_1\)必然斜率为\(0\)，即\(A_1=0\)，

故也满足$ A_1A_2+B_1B_2=0$；

故综上所述，\(l_1\perp l_2\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0\)；

例1【两条直线垂直】
已知直线\(l_1：ax-y+2a=0\)与直线\(l_2：(2a-1)x+ay+a=0\)互相垂直，则\(a\)的值为____________。

法1：由于我们主要是利用\(k_1\cdot k_2=-1\)求解，故需要分类讨论，以保证将有斜率和无斜率的情形分开考虑：

当\(a=0\)时，\(l_1：y=0\)，\(l_2：x=0\)，故互相垂直，满足题意；

当\(a\neq 0\)时，\(k_{l_1}=a\)，\(k_{l_2}=-\cfrac{2a-1}{a}\)，由\(k_{l_1}\cdot k_{l_2}=-1\)得到，

\(a\cdot (-\cfrac{2a-1}{a})=-1\)，解得\(a=1\)，

综上所述得到，\(a=0\)或\(a=1\)。

法2：不分类讨论，利用两条直线互相垂直的充要条件得到：

\(a\cdot (2a-1)+(-1)\cdot a=0\)，即\(2a^2-2a=0\)，

解得\(a=0\)或\(a=1\)。

例2已知点\(A(2，3)\)和\(B(2，-2)\)，试在\(y\)轴上求一点\(C\)，使得\(\Delta ABC\)为直角三角形。

分析：做出图形，由图形可知需要分类讨论；

①当点\(C(0，3)\)时，\(\Delta ABC\)为\(A=90^{\circ}\)的直角三角形。

②当点\(C(0，-2)\)时，\(\Delta ABC\)为\(B=90^{\circ}\)的直角三角形。

③当\(A\neq 90^{\circ}\)且\(B\neq 90^{\circ}\)时，设点\(C(0，b)\)，

则由\(k_{AC}\cdot k_{BC}=-1\)，解得\(b=-1\)或\(b=2\)，

即点\(C(0，-1)\)或\(C(0，2)\)时，\(\Delta ABC\)为\(C=90^{\circ}\)的直角三角形。

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