$(1+\frac{1}{n})^n$有上界

数集$\{(1+\frac{1}{n})^n|n\in\mathbf{N}\}$有上界.

 

证明:

 

引理1:令$f(x)=(a^t)^x$,$g(x)=a^x$,其中$a>1,t\in\mathbf{N}^{+}$.则
\begin{equation}
f'(0)=tg'(0)
\end{equation}

 

 

注:引理1的证明很简单，直接用导数的定义即可证明.引理1说明了，一个底数大于1的指数函数，在0处的导数随着底数的自乘，可以变得要多大就有多大.

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令$\frac{1}{n}=k$,则$(1+\frac{1}{n})^n$可以变为$(1+k)^{\frac{1}{k}}$.现在我来证明,必定存在一个正整数$m$,使得对于任何正实数$k$来说,都有
\begin{equation}
(1+k)^{\frac{1}{k}}<3^m
\end{equation}
即
\begin{equation}
1+k<(3^m)^k
\end{equation}
这是因为，首先，必定存在正整数$m$,$p(k)=(3^m)^k$,使得$p'(0)$大于1(根据的是引理1的注).而$q(x)=1+k$在0处的导数是1.且易得$p'(k)$随着$k$的增大而增大(可以直接用导数的定义证明),且$p(0)=q(0)$.因此对于正实数$k$有$1+k<(3^m)^k$成立.而由于$m$是固定值,综上已证$\{(1+\frac{1}{n})^n|n\in\mathbf{N}\}$有上界$3^m$.

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