本文探讨了在树状结构中进行动态更新和查询的高效算法。特别关注于如何在改变根节点或更新路径上点的属性时，快速计算特定子树的最小防御值。通过树剖和区间树的巧妙应用，提供了详细的解决方案和代码实现。
Description
zcwwzdjn在追杀十分sb的zhx，而zhx逃入了一个遥远的国度。当zcwwzdjn准备进入遥远的国度继续追杀时，守护神RapiD阻拦了zcwwzdjn的去路，他需要zcwwzdjn完成任务后才能进入遥远的国度继续追杀。
问题是这样的：遥远的国度有n个城市，这些城市之间由一些路连接且这些城市构成了一颗树。这个国度有一个首都，我们可以把这个首都看做整棵树的根，但遥远的国度比较奇怪，首都是随时有可能变为另外一个城市的。遥远的国度的每个城市有一个防御值，有些时候RapiD会使得某两个城市之间的路径上的所有城市的防御值都变为某个值。
RapiD想知道在某个时候，如果把首都看做整棵树的根的话，那么以某个城市为根的子树的所有城市的防御值最小是多少。
由于RapiD无法解决这个问题，所以他拦住了zcwwzdjn希望他能帮忙。但zcwwzdjn还要追杀sb的zhx，所以这个重大的问题就被转交到了你的手上。
Input
第1行两个整数n m，代表城市个数和操作数。
第2行至第n行，每行两个整数 u v，代表城市u和城市v之间有一条路。
第n+1行，有n个整数，代表所有点的初始防御值。
第n+2行一个整数 id，代表初始的首都为id。
第n+3行至第n+m+2行，首先有一个整数opt，如果opt=1，接下来有一个整数id，代表把首都修改为id；如果opt=2，接下来有三个整数p1 p2 v，代表将p1 p2路径上的所有城市的防御值修改为v；如果opt=3，接下来有一个整数 id，代表询问以城市id为根的子树中的最小防御值。
Output
对于每个opt=3的操作，输出一行代表对应子树的最小点权值。
Solution
换根板子题。
先钦定1是根dfs树剖一波，然后考虑几个操作。
链修改的操作和树形没关系，直接做。
考虑查询操作，画图以后可以发现，当一个点\(u\)不在点\(v\)的子树中时（原树上），以点\(u\)为根时\(v\)的子树形态不变。证明可以考虑此时\(u\)一定是通过\(v\)的父亲和\(v\)连接的，换根后还是通过\(v\)的父亲，而其他的子树显然还在\(u\)下方。在此不做展开。
当点\(u\)在\(v\)的子树内时，发现\(u\)和\(v\)是通过指向\(u\)的儿子链接的。于是\(u\)的那个儿子儿子所能连接到的所有点（除通过\(v\)连接的以外）都会在新树上直接作为\(u\)的子树而不是\(v\)的子树，剩下的就是\(v\)的子树了。而那个儿子能链接的所有点恰好是该儿子的子树。于是查询时查询整棵树去掉该儿子子树的min即可。
另外特判\(v\)是根的情况。直接查询子树
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define freopen(a, b, c)
#endif
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long
typedef long long int ll;
namespace IPT {
const int L = 1000000;
char buf[L], *front=buf, *end=buf;
char GetChar() {
if(front == end) {
end = buf + fread(front = buf, 1, L, stdin);
if(front == end) return -1;
}
return *(front++);
}
}
template <typename T>
inline void qr(T &x) {
rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
while((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch=IPT::GetChar();
while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
if(lst == '-') x = -x;
}
template <typename T>
inline void ReadDb(T &x) {
rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
while((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch = IPT::GetChar();
while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
if(ch == '.') {
ch = IPT::GetChar();
double base = 1;
while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x += (ch ^ 48) * ((base *= 0.1)), ch = IPT::GetChar();
}
if(lst == '-') x = -x;
}
namespace OPT {
char buf[120];
}
template <typename T>
inline void qw(T x, const char aft, const bool pt) {
if(x < 0) {x = -x, putchar('-');}
rg int top=0;
do {OPT::buf[++top] = x % 10 + '0';} while( x /= 10);
while(top) putchar(OPT::buf[top--]);
if(pt) putchar(aft);
}
const int maxn = 100010;
const int maxm = 200010;
struct Edge {
int to, nxt;
};
Edge edge[maxm]; int hd[maxn], ecnt=1;
inline void cont(ci from, ci to) {
Edge &e = edge[++ecnt];
e.to = to; e.nxt = hd[from]; hd[from] = ecnt;
}
int n, m, vistime, newrot;
int sz[maxn], dfn[maxn], otn[maxn], son[maxn], top[maxn], rmp[maxn], MU[maxn], deepth[maxn], fa[maxn];
const int INF = (1ll << 31) - 1;
struct Tree {
Tree *ls, *rs;
int v, tag, l, r;
inline void pushup() {
this->v = INF;
if(this->ls) this->v = this->ls->v;
if(this->rs) this->v = std::min(this->rs->v, this->v);
}
inline void maketag(ci _v) {
this->v = _v;
this->tag = _v;
}
inline void pushdown() {
if(!this->tag) return;
if(this->ls) this->ls->maketag(this->tag);
if(this->rs) this->rs->maketag(this->tag);
this->tag = 0;
}
};
Tree *pool[maxm],qwq[maxm],*rot;
int poltp;
void reading();
void dfs(ci, ci);
void DFS(ci, ci);
void buildpool();
void buildroot();
void build(Tree*, ci, ci);
void change(int, int, int);
void update(Tree*, ci, ci, ci);
int ask(Tree*, ci, ci);
int main() {
freopen("1.in", "r", stdin);
qr(n); qr(m);
reading();
qr(newrot) ;
dfs(newrot, 0); DFS(newrot, newrot);
buildpool(); buildroot();
build(rot, 1, n);
int a, b, c, d;
while (m--) {
a = 0; qr(a);
if (a == 1) {
newrot = 0; qr(newrot);
} else if (a == 2) {
b = c = d = 0; qr(b); qr(c); qr(d);
change(b, c, d);
} else if (a == 3) {
a=0; qr(a);
if (a == newrot) {
qw(rot->v, '\n', true);
} else if ((dfn[newrot] >= dfn[a]) && (dfn[newrot] <= otn[a])) {
int tp = newrot;
while(deepth[fa[top[tp]]] > deepth[a]) tp = fa[top[tp]];
if(dfn[top[tp]] > dfn[a]) tp = top[tp];
else tp = rmp[dfn[a] + 1];
qw(std::min(ask(rot, 1, dfn[tp] - 1), ask(rot, otn[tp]+1, n)), '\n', true);
} else {
qw(ask(rot,dfn[a],otn[a]), '\n', true);
}
}
}
return 0;
}
void reading() {
int a,b;
for (rg int i = 1; i < n; ++i) {
a = b = 0; qr(a); qr(b);
cont(a, b); cont(b, a);
}
for(rg int i = 1; i <= n; ++i) qr(MU[i]);
}
void dfs(ci u, ci pree) {
sz[u] = 1;
deepth[u] = deepth[fa[u] = edge[pree].to] + 1;
for (int i = hd[u]; i; i = edge[i].nxt) if (i != pree) {
int &to = edge[i].to;
dfs(to, i^1);
if(sz[to] > sz[son[u]]) son[u] = to;
}
}
void DFS(ci u, ci tp) {
if((!u) || (dfn[u])) return;
dfn[u] = ++vistime;
rmp[vistime] = u;
top[u] = tp;
DFS(son[u], tp);
for (int i = hd[u]; i; i = edge[i].nxt) {
int &to = edge[i].to;
if(to == son[u]) continue;
DFS(to,to);
}
otn[u] = vistime;
}
void buildpool() {
for (rg int i = 0; i < maxm; ++i) pool[i] = qwq+i;
poltp = maxm - 1;
}
inline void buildroot() {
rot = pool[poltp--];
}
void build(Tree *u, ci l, ci r) {
u->l = l; u->r = r;
if(l == r) {
u->v = MU[rmp[l]];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if(l <= mid) {
u->ls = pool[poltp--];
build(u->ls, l, mid);
}
if(mid < r) {
u->rs = pool[poltp--];
build(u->rs, mid+1, r);
}
u->pushup();
}
void change(int u, int v, int p) {
while(top[u] != top[v]) {
if(deepth[top[u]] < deepth[top[v]]) std::swap(u, v);
update(rot, dfn[top[u]], dfn[u], p);
u = fa[top[u]];
}
if(deepth[u] < deepth[v]) std::swap(u, v);
update(rot, dfn[v], dfn[u], p);
}
void update(Tree *u, ci l, ci r, ci v) {
if((u->l > r) || (u->r < l)) return;
if((u->l >= l) && (u->r <= r)) {u->maketag(v); return;}
u->pushdown();
if(u->ls) update(u->ls, l, r, v);
if(u->rs) update(u->rs, l, r, v);
u->pushup();
}
int ask(Tree *u, ci l, ci r) {
if((u->l > r) || (u->r < l)) return INF;
if((u->l >= l) && (u->r <= r)) return u->v;
u->pushdown();
int _ret = INF;
if(u->ls) _ret = ask(u->ls, l, r);
if(u->rs) _ret = std::min(ask(u->rs, l, r), _ret);
return _ret;
}Summary
树上的链操作与根无关
涉及到子树的操作可以通过讨论解决。
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