[Acm] foj 2191 : 完美的数字（数学题）

最新推荐文章于 2019-07-26 09:20:40 发布

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本文介绍了一种计算特定区间内所有数字的“完美度”总和的算法。完美度定义为一个数字能被分解为A*A*B形式的方法数量。通过遍历每个可能的A值并计算对应的B值来实现，最终得出从a到b所有数字的完美度之和。

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Problem 2191 完美的数字
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Problem Description

Bob是个很喜欢数字的孩子，现在他正在研究一个与数字相关的题目，我们知道一个数字的完美度是把这个数字分解成三个整数相乘A * A * B（0< A <=B）的方法数，例如数字80可以分解成1180，2220 ，445，所以80的完美度是3；数字5只有一种分解方法115，所以完美度是1，假设数字x的完美度为d(x)，现在给定a，b（a<=b），请你帮Bob求出

S，S表示的是从a到b的所有数字的流行度之和，即S=d(a)+d(a+1)+…+d(b)。

Input

输入两个整数a，b（1<=a<=b<=10^15）
Output

输出一个整数，表示从a到b的所有数字流行度之和。
Sample Input

1 80
Sample Output

107
Source

福州大学第十二届程序设计竞赛

题意：

给你a和b（数据范围很大，1~10^15），求a到b的数字完美度之和。
数字完美度求法如下：
如果一个数n，能拆分成A * A * B的形式的个数，例如80可以拆成1 * 1 * 80，2 * 2 * 20 ，4 * 4 * 5，所以80的数字完美度就是3.同理，5只能拆成1 * 1 * 5,那么5的数字完美度就是1.

思路：

假设要求[1,80]（即a=1，b=80）的数字完美度之和。
因为要拆成A * A * B的形式，我们可以令 80/(A*A).
随便取一个数A，我们看看有什么规律。
当A=3时，t = 80/(3 * 3) = 8。
即可以得到8种情况：
3 * 3 * 1 = 9,
3 * 3 * 2 = 18,
3 * 3 * 3 = 27,
3 * 3 * 4 = 36,
3 * 3 * 5 = 45,
3 * 3 * 6 = 54,
3 * 3 * 7 = 63,
3 * 3 * 8 = 72
这些情况的值在80范围内，他们是A=3时，B的所有可能的情况。
又由于A<=B,所以排除
3 * 3 * 1 ，
3 * 3 * 2 ，
即 B=1,2 的情况。
那么剩下6种情况（t-A+1=8-3+1=6）

接下来遍历所有的A（1-80），计算 n/(A * A)-A+1 ,不断累加。
遍历到后面的时候会出现该值 <0的情况，这时累加结束。
总结出公式就是：
f(n) = sigma(n/(A * A)-A+1 | A=1,n)（ (A * A)-A+1<0时停止求和）

这是[1,n]的数字完美值之和。

[a,b]的数字完美度之和就是 f(b)-f(a-1)

思路来自大神 svtter

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>

using namespace std;

#define ll long long int

ll f(ll n)
{
    ll i,sum = 0;
    for(i=1;i<=n;i++){
        ll t = n/(i*i)-i+1;
        if(t<=0) break;
        sum+=t;
    }
    return sum;
}

int main()
{
    ll a,b;
    while(scanf("%I64d%I64d",&a,&b)!=EOF){
        printf("%I64d\n",f(b)-f(a-1));
    }
    return 0;
}