51nod 1376：最长递增子序列的数量

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原文链接：http://www.cnblogs.com/barrier/p/6729844.html

本文解决51nod1376题：求解最长递增子序列(LIS)数量问题。采用动态规划方法，通过维护数组记录不同长度递增子序列的末位数字及数量，实现高效求解。复杂度为O(nlg^2(n))。

51nod 1376：最长递增子序列的数量

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1376

题目大意：求n个数的最长递增子序列（LIS）的个数。相同的数字在不同的位置，算作不同的，例如 {1 1 2} 答案为2。

DP（这题我是STL过的，看讨论有线段树的做法，不过还没想出来）

与求LIS一样，定义状态：dp[i]为长为i的递增子序列末尾最小的数字.

维护数组num[i][j]，存储长为i的子序列的末位数字.可以发现每个数组num[i]中元素均为递减（若加入数比原来的大，则一定可以构造更长的子序列）.

维护数组cnt[i][j]，存储长为i的子序列且末位数字为num[i][0]，num[i][1]，...，num[i][j]的总数量，即前缀和。

故扫描下一个数字时，以求LIS的方法更新dp[i]数组和num[i][j]数组，并二分查找num[i-1]中比新添加的数小的数的位置，以此更新cnt[i][j]数组.

复杂度为$O(nlg^2(n) )$

代码如下：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <vector>
 4 #define N 50005
 5 using namespace std;
 6 typedef long long ll;
 7 const ll m=1000000007;
 8 ll n,x,dp[N],k,t1,t2;
 9 vector<ll>num[N],cnt[N];
10 bool cmp(ll a,ll b){
11     return a>b;
12 }
13 int main(void){
14     scanf("%lld",&n);
15     for(int i=0;i<n;++i){
16         scanf("%lld",&x);
17         ll t1,t2;
18         t1=lower_bound(dp,dp+k,x)-dp;
19         dp[t1]=x;
20         num[t1].push_back(x);
21         t2=upper_bound(num[t1-1].begin(),num[t1-1].end(),x,cmp)-num[t1-1].begin();
22         if(t1==0){
23             if(cnt[t1].size())cnt[t1].push_back( (cnt[t1][cnt[t1].size()-1]+1)%m );
24             else cnt[t1].push_back(1);
25         }else{
26             if(t2==0){
27                 if(cnt[t1].size())cnt[t1].push_back( (cnt[t1-1][cnt[t1-1].size()-1]+cnt[t1][cnt[t1].size()-1])%m );
28                 else cnt[t1].push_back(cnt[t1-1][cnt[t1-1].size()-1]);
29             }else{
30                 if(cnt[t1].size())cnt[t1].push_back( (cnt[t1-1][cnt[t1-1].size()-1]-cnt[t1-1][t2-1]+cnt[t1][cnt[t1].size()-1]+m)%m );
31                 else cnt[t1].push_back( (cnt[t1-1][cnt[t1-1].size()-1]-cnt[t1-1][t2-1]+m)%m );
32             }
33         }
34         if(t1==k)k++;
35     }
36     printf("%lld\n",cnt[k-1][cnt[k-1].size()-1]);
37 }