【专题】平衡树（Treap，fhq-treap）

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原文链接：http://www.cnblogs.com/onioncyc/p/7903769.html

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#数据结构与算法

【旋转】

平衡树中的旋转是指在不改变中序遍历的前提下改变树的形态的方式。（中序遍历=排名顺序）

右旋将当前点的左节点旋上来，左旋反之。（图侵删）

void rturn(int &k){
    int o=t[k].l;
    t[k].l=t[o].r;
    t[o].r=k;
    up(k);up(o);
    k=o;
}

原根k，新根o。

1.把k的左节点o解放出来并更新为o的右节点。

2.解放出来的o成为新根，其右孩子赋为k。

【Treap】树堆

功能：维护支持单点插入和单点删除的排名树。

特点：给每个节点随机堆权，在维持排名不变的前提下通过旋转维护堆结构，从而能使高度平衡。

Treap的左子树<=根节点，右子树>根节点。

操作：

1.查找数的排名或位置：判断与k的大小关系，往左或往右（累加sz），相等时找到数的位置。

2.查找指定排名的数字：判断与t[t[k].l].sz+1的大小关系，往左或往右，相等时找到数的位置。

3.插入：查找数的位置，相等往左走直到空位置插入，回溯时维护堆性质。

4.删除：查找数的位置，相等时比较左右孩子堆权后旋转到底部删除。

5.前驱：查找数的位置，为其左子树的最右孩子，若不存在则为其父亲，若不是父亲的右孩子则无解（第一个数）。

6.后继：同上，右子树的最左孩子，否则为父亲。

注意：要时时维护堆性质，否则速度严重变慢。

例题和模版：【BZOJ】3224: Tyvj 1728 普通平衡树

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100010;
struct tree{int l,r,sz,rnd,num;}t[maxn*2];
int n,sz,root;
void up(int k){t[k].sz=1+t[t[k].l].sz+t[t[k].r].sz;}
void lturn(int &k){
    int o=t[k].r;
    t[k].r=t[o].l;
    t[o].l=k;
    up(k);up(o);
    k=o;
}
void rturn(int &k){
    int o=t[k].l;
    t[k].l=t[o].r;
    t[o].r=k;
    up(k);up(o);
    k=o;
}
void ins(int &k,int x){
    if(!k){k=++sz;t[k].rnd=rand();t[k].num=x;t[k].sz=1;return;}//return
    t[k].sz++;
    if(x<=t[k].num){
        ins(t[k].l,x);
        if(t[t[k].l].rnd<t[k].rnd)rturn(k);//turn
    }
    else{
        ins(t[k].r,x);
        if(t[t[k].r].rnd<t[k].rnd)lturn(k);
    }
}
void del(int &k,int x){
    //t[k].sz--;
    if(t[k].num==x){
        if(t[k].l*t[k].r==0){k=t[k].l+t[k].r;return;}
        if(t[t[k].l].rnd<t[t[k].r].rnd){
            rturn(k);
            t[k].sz--;
            del(t[k].r,x);
        }
        else{
            lturn(k);
            t[k].sz--;
            del(t[k].l,x);
        }
    }
    else if(x<t[k].num)t[k].sz--,del(t[k].l,x);else t[k].sz--,del(t[k].r,x);
}
int find(int k,int x){
    if(!k)return 0;//!k
    if(x<=t[k].num)return find(t[k].l,x);
    else return t[t[k].l].sz+1+find(t[k].r,x);
}
int rank(int k,int x){
    if(t[t[k].l].sz+1==x)return t[k].num;
    if(x<t[t[k].l].sz+1)return rank(t[k].l,x);
    else return rank(t[k].r,x-t[t[k].l].sz-1);
}
int pre(int k,int x){
    if(!k)return -1;
    if(t[k].num<x)return max(t[k].num,pre(t[k].r,x));
    else return pre(t[k].l,x);
}
int suc(int k,int x){
    if(!k)return 0x3f3f3f3f;
    if(t[k].num>x)return min(t[k].num,suc(t[k].l,x));
    else return suc(t[k].r,x);
}
int main(){
    srand(233);//srand!!!!!!!!!!
    scanf("%d",&n);sz=root=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int opt,x;
        scanf("%d%d",&opt,&x);
        if(opt==1)ins(root,x);
        if(opt==2)del(root,x);
        if(opt==3)printf("%d\n",find(root,x)+1);//+1
        if(opt==4)printf("%d\n",rank(root,x));
        if(opt==5)printf("%d\n",pre(root,x));
        if(opt==6)printf("%d\n",suc(root,x));
    }
    return 0;
}

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【fhq-treap】可分裂合并的treap

真正的范浩强treap其实并不仅仅如此，这里使用这个名字只是为了方便。

功能：可分裂合并的treap，通过split和merge两个操作可以实现平衡树的所有功能（可以取代splay）。

（只有单点操作时仍然建议使用普通treap，fhq-treap步骤多所以常数大）

操作：

1.合并（merge）：按照a左b右合并两棵平衡树，对两个树根比较堆权，将较小者放在上面后继续递归合并。

2.分裂（split）：将平衡树按排名分裂成k和n-k两棵平衡树，通过判断当前根属于左树或右树后递归进行，传参得到最后的a和b。

3.查找区间：对于区间[a,b]，将平衡树分裂成三部分，查询后合并。

4.线性建树：少用，做法是对最右一列维护栈，每次插入到右下角（栈顶），通过小型旋转维护堆性质并将栈顶相应弹出，最后记得t[0].r=0。

细节：

1.必须保证全过程不要影响到t[0]的值，t[0]的初始值也对全过程没有影响。

2.平衡树的上传必须考虑本身。

例题和模板：【BZOJ】1251: 序列终结者

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100010;
struct tree{int l,r,rnd,num,mx,add,delta,sz;}t[maxn*2];
int st[maxn];
int n,m,root;
void down(int k){
    if(t[k].delta){
        swap(t[k].l,t[k].r);
        if(t[k].l)t[t[k].l].delta^=1;
        if(t[k].r)t[t[k].r].delta^=1;
        t[k].delta=0;
    }
    if(t[k].add){
        int p=t[k].add;
        if(t[k].l)t[t[k].l].add+=p,t[t[k].l].mx+=p,t[t[k].l].num+=p;
        if(t[k].r)t[t[k].r].add+=p,t[t[k].r].mx+=p,t[t[k].r].num+=p;//keep 0->0!!!
        t[k].add=0;
    }
}
int max(int a,int b){return a<b?b:a;}
void up(int k){//different from sgt!
    t[k].mx=max(t[k].num,max(t[t[k].l].mx,t[t[k].r].mx));
    t[k].sz=1+t[t[k].l].sz+t[t[k].r].sz;
}
void dfs(int k){
    if(!k)return;
    dfs(t[k].l);
    dfs(t[k].r);
    up(k);
}
void build(){
    int top=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        t[i]=(tree){0,0,rand(),0,0,0,0,1};
        while(top&&t[st[top]].rnd>t[i].rnd){
            t[st[top]].r=t[i].l;
            t[i].l=st[top--];
        }
        t[st[top]].r=i;
        st[++top]=i;
    }
    dfs(st[1]);
    t[0].r=0;
    t[0].mx=-0x3f3f3f3f;//make 0 no influence
    root=st[1];
}
int merge(int a,int b){
    if(!a||!b)return a^b;
    if(t[a].rnd<t[b].rnd){
        down(a);
        t[a].r=merge(t[a].r,b);
        up(a);
        return a;
    }
    else{
        down(b);
        t[b].l=merge(a,t[b].l);
        up(b);
        return b;
    }
}
void split(int k,int &l,int &r,int x){
    if(!k)return void(l=r=0);
    down(k);
    if(x<t[t[k].l].sz+1){
        r=k;
        split(t[k].l,l,t[k].l,x);
    }
    else{
        l=k;
        split(t[k].r,t[k].r,r,x-t[t[k].l].sz-1);
    }
    up(k);
}
void plus(int l,int r,int x){
    int a,b,c;
    split(root,b,c,r);
    split(b,a,b,l-1);
    t[b].add+=x;t[b].mx+=x;t[b].num+=x;
    root=merge(a,b);root=merge(root,c);
}
void turn(int l,int r){
    int a,b,c;
    split(root,b,c,r);split(b,a,b,l-1);
    t[b].delta^=1;
    root=merge(a,b);root=merge(root,c);
}
int ask(int l,int r){
    int a,b,c,ans;
    split(root,b,c,r);split(b,a,b,l-1);
    ans=t[b].mx;
    root=merge(a,b);root=merge(root,c);
    return ans;
}
int main(){
    srand(233);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    build();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int k,l,r,x;
        scanf("%d%d%d",&k,&l,&r);
        if(l>r)continue;
        if(k==1){
            scanf("%d",&x);
            plus(l,r,x);
        }
        else if(k==2)turn(l,r);
        else printf("%d\n",ask(l,r));
    }
    return 0;
}

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【splay】很久以前学的splay，后来全部改用fhq-treap了，当时的笔记就丢这里了，有需自取。

Treap和Splay学习小结：http://blog.youkuaiyun.com/jtjy568805874/article/details/50734723

旋转不改变中序遍历，也就是不改变序列的顺序(以序列下标作为关键字)。

splay维护的是序列的顺序！

用find(root,l)和find(t[root][1],k)把区间旋转到root右孩子的左孩子处，注意哨兵

记得有哨兵！

<Node>申请新结点。(从1开始，虚根为0)//最开始第一个点怎么办？

<build>fa &x申请新节点 l r
fa初始进来是0。
申请结点，若非叶子就然后进入左右，最后count。
<count>通过上传更新该点一系列信息。
<rotate>x

定方向，处理y孩子(双向)，处理y父亲(双向)，处理y新父亲，处理x儿子，全部弄完后更新x的信息(直接从y继承，因为一模一样)，count(y)。

<splay>x,y 将x旋转到y的位置(双旋就是一次往上跳两个节点)

判一次旋，定两个方向，双旋。

因为fa，t全部在rotate更新了，不需要传递参数，唯一有可能变化的是root，在find的时候传参就可以了。

<find>&x k 表示找到第k的结点并把它旋转到x结点处。(可以选择不附加splay操作)

所以可以用find(root,l)和find(t[root][1],r)把区间旋转到root右孩子的左孩子处。

可以写非递归版，从根(&x)找下去，找到后splay到x处就可以了，双旋作用就体现在这里，防卡。

最后记得x=i;

<insert>&x

传进来root。

读入要插入的序列并把它建树，得到一个根节点r。

find(x,l)把l旋转到根，find(t[x][1],0)把l右边的结点全部旋转到根的右孩子的右孩子处。

然后把r插入根的右孩子的左孩子处，更新fa[r]，count一下根极其右孩子即可。

没有结点就是0

<翻转>打标记并先完成自身的修改(其实没什么要修改的)，下传时反转左右子树。

<★模板>【BZOJ】1500: [NOI2005]维修数列：http://www.cnblogs.com/onioncyc/p/6916479.html

修改可以直接修改，splay维护的是序列顺序。

移动可以想成删除再加入。

每次插入都无脑splay到根，可以保证复杂度。

当你前方是万丈深渊，你感到恐惧而无路可走的时候，千万不要放弃，坚定地选择住一个方向，硬着头皮走下去，千万不要对于每个方向都浅尝辄止，否则就会一片迷茫，把握不住它的真实存在，坚定的选择一个方向抗过去，路的那边一定柳暗花明。

就是说，当你学一个东西一直学不会，就抓住一份代码死啃，一定能理解的O_O。

最强平衡树——Treap[以我的最弱击败你的最强]：http://blog.youkuaiyun.com/lemonoil/article/details/71816386

平衡树之splay讲解：http://www.cnblogs.com/BLADEVIL/p/3464458.html