CO-PRIME（初探莫比乌斯）NYOJ1066（经典）gcd（a，b）=1

最新推荐文章于 2023-01-26 16:10:19 发布

weixin_33840661

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文章标签： php

本文解析了一道名为CO-PRIME的算法题，通过莫比乌斯反演的方法求解给定序列中互素数对的数量。介绍了莫比乌斯函数的概念及其实现，并给出了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

CO-PRIME

时间限制： 1000 ms | 内存限制： 65535 KB

难度： 3

描写叙述

This problem is so easy! Can you solve it?

You are given a sequence which contains n integers a1,a2……an, your task is to find how many pair(ai, aj)(i < j) that ai and aj is co-prime.

输入

There are multiple test cases.
Each test case conatains two line,the first line contains a single integer n,the second line contains n integers.
All the integer is not greater than 10^5.

输出

For each test case, you should output one line that contains the answer.

例子输入

3
1 2 3

例子输出

參考学长博客 >>芷水<<

题意：给出n个正整数。求这n个数中有多少对互素的数。

分析：莫比乌斯反演。

此题中，设F(d)表示n个数中gcd为d的倍数的数有多少对，f(d)表示n个数中gcd恰好为d的数有多少对。

则F(d)=∑f(n) (n % d == 0)

f(d)=∑mu[n / d] * F(n) (n %d == 0)

上面两个式子是莫比乌斯反演中的式子。

所以要求互素的数有多少对，就是求f(1)。

而依据上面的式子能够得出f(1)=∑mu[n] * F(n)。

所以把mu[]求出来。枚举n即可了，当中mu[i]为i的莫比乌斯函数。

初探莫比乌斯。还有非常多不是非常懂。跟进中。

。

转载请注明出处：寻找&星空の孩子

题目链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=1066

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+10;
typedef long long LL;

LL F[MAXN],f[MAXN];
int pri[MAXN],pri_num;
int mu[MAXN];//莫比乌斯函数值
int vis[MAXN],a[MAXN];

void mobius(int N)  //筛法求莫比乌斯函数
{
    pri_num = 0;//素数个数
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    vis[1] = mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i <=N; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            pri[pri_num++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=0; j<pri_num && i*pri[j]<N ;j++)
        {
            vis[i*pri[j]]=1;//标记非素数
            //eg:i=3,i%2,mu[3*2]=-mu[3]=1;----;i=6,i%5,mu[6*5]=-mu[6]=-1;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]] = -mu[i];
            else
            {
                mu[i*pri[j]] = 0;
                break;
            }

        }
    }
}

inline LL get(int x)
{
    return (LL)((x*(x-1))/2);
}

int main()
{
    mobius(100005);
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        memset(F,0,sizeof(F));
        memset(f,0,sizeof(f));
        int mmax = -1;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            f[a[i]]++;
            mmax = max(mmax, a[i]);
        }
        //求F[N]
        for(int i=1;i<=mmax;i++)
        {
            for(int j=i;j<=mmax;j+= i)
            {
                F[i]+=f[j];//个数
            }
            F[i]=get(F[i]);//C(N,2),表示对数；保证了gcd(a,b);(a<b)
        }

        LL ans = 0;
        for(int i=1; i<=mmax; i++)
            ans+=F[i]*mu[i];
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}