迷之记号 dx 到底是什么鬼

d, d, d, d, 一本高数，整天 \(\mathrm{d}\) 来 \(\mathrm{d}\) 去。

可是这个 \(\mathrm{d}x\) 到底是什么意思？你可能会说：这还不简单，不就是 \(x\) 的微分嘛？

好好好，听你的，\(\mathrm{d}x\) 是 \(x\) 的微分。既然是这样，那么 \(\mathrm{d}x\) 必有以下性质：

(1) 一般情况下，它不是零，可以作分母

(2) 同样的 \(\mathrm{d}x\) 可以约掉

这显然是对的吧？ \(^_^)/

……

然而这就引发了一些迷之问题。

比如说有这么一道题：

设

\( \left\{\begin{matrix}
x = t^2
\\
y = t^4
\end{matrix}\right. \)

求

\( \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \) （即 \(y''\)）

当然，此题 so easy, 一眼就能看出 \(y=x^2\), 所以 \(y'=2x\), \(y''=2\), 最后跟 \(t\) 也没什么关系。

结果就是一个常数 \(2\).

但是，请看下面的推导过程：

首先，由定义知：

\( \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d^2}y}{(\mathrm{d}x)^2} \)

然后，分子分母同除以 \((\mathrm{d}t)^2\), 得：

\( \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\frac{\mathrm{d^2}y}{(\mathrm{d}t)^2}}{\frac{(\mathrm{d}x)^2}{(\mathrm{d}t)^2}} \)

\( = \frac{\frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}t^2}}{(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t})^2} \)

\( = \frac{y_t''}{(x_t')^2} \)

\( = \frac{(4t^3)'}{(2t)^2} \)

\( = \frac{12t^2}{4t^2} \)

\( = 3 \)

这又说明结果是 \(3\). 这个推导过程看起来毫无毛病。难道 \(2=3\)? 这岂不是胡扯？问题出在哪？

还有更诡异的事情，就是链式法则和换元积分法的证明。

\( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \)

上面这个式子，证明写了一坨。可是既然微分不是零，也不是什么特殊的东西，那么为什么不能把分子分母两个 \(\mathrm{d}t\) 直接 消 掉 呢？

还有：

\( \int f(u)\mathrm{d}u = \int f(g(x))g'(x)\mathrm{d}x \), 其中 \(u = g(x)\).

这一条式子证明也写了一坨。可是既然 \( \mathrm{d}u=g'(x)\mathrm{d}x \) 为什么不直接 代 入 ，一步得证呢？

怪，怪，怪！

到 底 是 怎 么 了 ？

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我想编课本的人心里肯定清楚是怎么了。　　

可是就是太懒了，不愿意解释。

问题的关键就在于，有的 \(\mathrm{d}x\) 根本就不是微分。（假的！）

所以看起来相等的东西，其实并不一定相等。

追本溯源，\(y=f(x)\) 对 \(x\) 的微分的定义如下：

\( \mathrm{d}y = f'(x)\Delta x \)

两边同除 \(\Delta x\), 有：

\( \frac{\mathrm{d}y}{\Delta x} = f'(x) \)

问题就这样出现了：左边式子上面是 \(\mathrm{d}x\), 下面又变成了 \(\Delta x\), 太不对称太不美观了。

所以既然 \( g(x)=x \) 的微分 \( \mathrm{d}(x) \) 就等于 \( \Delta x \), 那么干脆就直接把下面的 \( \Delta x \) 写成 \( \mathrm{d}x \) 好了：

\( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x) \)

这样一看就漂亮多了。

是啊，漂亮多了。

啊，漂亮多了。

，漂亮多了。

漂亮多了。

亮多了。

多了。

了。

。

等等！可是这样一来，同样写成 \(\mathrm{d}x\) 的东西，意思就可能不一样了！一个 \(\mathrm{d}x\) 到底是什么意思，就只能靠上下文来判断了！一不小心就出错了！还让人以为链式法则和换元积分是显然的！太可怕了！

回头看看刚才是怎么出错的。

为了区分不同的 \(\mathrm{d}x\), 就得先改变一下记号。

下文中都按以下规则进行区分：

- 自变量的改变 \(\Delta x\) 记作 \(\mathrm{d}_*x\)

- 函数 \(x=f(t)\) 对 \(t\) 的微分记作 \(\mathrm{d}_t x\)

- 对函数表达式的微分要加括号，如 \(\mathrm{d}_x (2x+1) = 2\cdot\mathrm{d}_*x\), 还有 \(\mathrm{d}_x (x) = 1\cdot\mathrm{d}_*x\)

还是那道求二阶导的题，从头开始重复那个错误的推导过程（看不清下标的话放大一下网页）：

\( \frac{\mathrm{d^2}_x y}{\mathrm{d}_* x^2} \)

上下同除 \( (\mathrm{d}_* t)^2 \)

\( = \left ( \frac{\mathrm{d^2}_x y}{(\mathrm{d}_* t)^2} \right ) / \left ( {\frac{(\mathrm{d}_* x)^2}{(\mathrm{d}_* t)^2}} \right ) \)　　

\( = \left ( \frac{\mathrm{d^2}_x y}{\mathrm{d}_* t^2} \right ) /  \left ({\frac{\mathrm{d}_* x}{\mathrm{d}_* t}} \right ) ^2 \)

左边（上边）不等于 \(y_t''\), 而 \( \frac{\mathrm{d^2}_t y}{\mathrm{d}_* t^2} \) 才等于；右边（下边）也不等于 \((x_t')^2\), 而 \( \left ({\frac{\mathrm{d}_t x}{\mathrm{d}_* t}} \right ) ^2 \) 才等于。所以原来那个看似合理的推导根本就是胡扯。

还有链式法则，区分一下 \(\mathrm{d}t\) 的话是很容易知道不能通过约分证明的：

 \( \frac{\mathrm{d}_x y}{\mathrm{d}_* x}=\frac{\mathrm{d}_t y}{\mathrm{d}_* t}\cdot\frac{\mathrm{d}_x t}{\mathrm{d}_* x} \)

两边同乘 \( \mathrm{d}_* x \), 可得等价形式：

\( \mathrm{d}_x y=\frac{\mathrm{d}_t y}{\mathrm{d}_* t}\cdot\mathrm{d}_x t \)

这即是所谓「一阶微分的形式不变性」。

再有就是换元积分：

\( \int f(u)\mathrm{d}_* u = \int f(g(x))g'(x)\mathrm{d}_* x \), 其中 \(u = g(x)\).

或者说

\( \int f(u)\mathrm{d}_* u |_{u=g(x)} = \int f(u)\mathrm{d}_x u \), 其中 \(u = g(x)\).

其中 \(\mathrm{d}_* u\) 和 \(\mathrm{d}_x u\) 当然不是一个东西，所以两边并不是显然相等。

左边的积分变量是 \(u\), 是对 \(u\) 的函数 \(f(u)\) 积分，得到 \(u\) 的函数，然后代入 \(u=g(x)\), 得到 \(x\) 的函数；

右边的积分变量是 \(x\), 是对 \(x\) 的函数 \(f(u)u_x'\) 即 \(f(g(x))g'(x)\) 积分，得到 \(x\) 的函数。

所以是因为两边对 \(x\) 求导相等，即 \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 左边 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}左边\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} u = f(u)u_x'　　 = f(g(x))g'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 右边 \), 也就是链式法则成立，才能说两边相等的（实际上只能说是差一个常数，但是差一个常数就可以说两个不定积分相等了）。

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总结一下：

一篇《孔乙己》，让我们知道了「茴」字一种意思有四种写法。

然而令人啧啧称奇的是，恰恰相反，数学符号「 \(\mathrm{d}x\) 」，一种写法却有四种意思：

(1) \(\mathrm{d}_* x\): 自变量的微小变化 \(\Delta x\)

(2) \(\mathrm{d}_t x\): 函数 \(x\) 对某个自变量（例如 \(t\)）的微分

(3) \(\mathrm{d}_x (x)\): 函数 \(f(x) = x\) 的微分

(4) 导数算符 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\) 的一部分

其中 (3) 和 (1) 是相等的，但是虽然相等，意义却是完全不同的。(4) 和 (1) 可以看作是统一的，但是算符终究只是个算符。（某些教材）在定义微分之前，就把 \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y \) 写成 \( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \), 个人认为这是一种事后诸葛，并不是很妥当。

要说为什么会变成这样，只有一个解释，那就是「懒」。毕竟多数情况下，心里清楚就不会搞混。这跟把 \((\sin{x})^2\) 写成 \(\sin^2{x}\) 如出一辙。

最后不得不吐嘈，现在微积分的教学几乎是把数学教成算数。个人认为，会算导数，会算不定积分，并没有什么卵用，因为电脑既比人算得快，又比人算的准。人只有懂得数学的知识体系和思想方法，才能比电脑牛Ｂ. 一个符号的含义只能通过上下文来区分，这么重要的事情，（某些教材和老师）竟然不加以说明，后果就是学生们整天 d d d d d, 到头来却搞不明白 d 到底是什么东西，只是在按运算法则运算而已。

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