[NOI2017]泳池

面积恰为$k$不好处理，先求$\leq k$的概率

设$f_{i,j}$表示（有$i$列，最下$j$行都安全，第$j+1$行至少有一个位置危险）的概率，则$g_{i,j}=\sum\limits_{r\geq j}f_{i,r}$为（有$i$列，最下$j$行都安全）的概率

枚举第$j+1$行第一个危险的格子是哪个以转移

$f_{i,j}=\sum\limits_{r=0}^{i-1}g_{r,j+1}g_{i-r-1,j}q^j(1-q)$

左边$j+1$行$r$列，中间第$r+1$行最下$j$个格子，右边$j$行$i-r-1$列都要是安全的，同时$j+1$行第$r+1$个格子是危险的

因为当$ij\gt k$时$f_{i,j}=g_{i,j}=0$，所以直接DP时间复杂度是$O(n^2)$的

当$i\gt k$时，$f_{i,j}=0(j\geq1)$，所以我们只需要求$f_{i,0}$，此时转移为$g_{i,0}=f_{i,0}=\sum\limits_{r=0}^k(1-q)g_{r,1}g_{i-r-1,0}$，是$g_{i,0}$的常系数线性递推式，所以最终复杂度为$O(k^2\log_2n)$

#include<stdio.h>
#include<string.h>
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
int mul(int a,int b){return a*(ll)b%mod;}
int ad(int a,int b){return(a+b)%mod;}
int de(int a,int b){return(a-b)%mod;}
int pow(int a,int b){
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=mul(s,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int t[2010];
void mul(int*a,int*b,int*m,int*c,int n){
	int i,j,u,v;
	memset(t,0,sizeof(t));
	for(i=0;i<=n;i++){
		for(j=0;j<=n;j++){
			t[i+j]=ad(t[i+j],mul(a[i],b[j]));
		}
	}
	u=pow(m[n],mod-2);
	for(i=n;i>=0;i--){
		v=mul(u,t[i+n]);
		for(j=0;j<=n;j++)t[i+j]=de(t[i+j],mul(m[j],v));
	}
	memcpy(c,t,n<<2);
}
void pow(int*a,int b,int*m,int*c,int n){
	c[0]=1;
	while(b){
		if(b&1)mul(c,a,m,c,n);
		mul(a,a,m,a,n);
		b>>=1;
	}
}
int f[2010][1010],id[1010],a[1010],res[1010],n,q;
int solve(int k){
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(id,0,sizeof(id));
	memset(a,0,sizeof(a));
	memset(res,0,sizeof(res));
	int i,j,r,t;
	for(i=0;i<=k+1;i++)f[0][i]=1;
	for(i=1;i<=2001;i++){
		for(j=0;i*j<=k;j++){
			t=mul(pow(q,j),1-q);
			f[i][j]=0;
			for(r=0;r<i&&r*(j+1)<=k;r++)f[i][j]=ad(f[i][j],mul(mul(f[r][j+1],f[i-r-1][j]),t));
		}
		for(j=k/i;j>=0;j--)f[i][j]=ad(f[i][j],f[i][j+1]);
	}
	if(n<=1000)return f[n][0];
	for(i=0;i<=k;i++)id[i]=mul(q-1,f[k-i][1]);
	id[k+1]=1;
	a[1]=1;
	pow(a,n-k,id,res,k+1);
	r=0;
	for(i=0;i<=k+1;i++)r=ad(r,mul(res[i],f[k+i][0]));
	return r;
}
int main(){
	int k,x,y;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&x,&y);
	q=mul(x,pow(y,mod-2));
	printf("%d",ad(de(solve(k),solve(k-1)),mod));
}

转载于:https://www.cnblogs.com/jefflyy/p/9246182.html