[Contest20180122]超级绵羊异或

最新推荐文章于 2018-04-28 15:24:15 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/jefflyy/p/8337406.html

本文详细介绍了类欧几里得算法的应用及其在解决特定数学问题中的实现过程。通过递归方式简化复杂求和表达式，实现了快速计算。特别针对模2意义下的求和问题给出了解决方案。

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题意：求$a\ xor\left(a+b\right)xor\cdots xor\left(a+b\left(n-1\right)\right)$

对每一位求答案，第$k$的答案是$\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left\lfloor\dfrac{a+bi}{2^k}\right\rfloor$，这是类欧几里得算法中的一个

类欧几里得算法：求$f\left(a,b,c,n\right)=\sum\limits_{i=0}^n\left\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\right\rfloor$

①若$a\geq c$或$b\geq c$，我们可以把它除出来，原式$=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\left\lfloor\dfrac{a}{c}\right\rfloor+\left(n+1\right)\left\lfloor\dfrac{b}{c}\right\rfloor+f(a\%c,b\%c,c,n)$

②若$a\lt c$且$b\lt c$，令$m=\left\lfloor\dfrac{an+b}{c}\right\rfloor$

原式

$\begin{align*}&=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=1}^m\left[\left\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\right\rfloor\geq j\right]\\&=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^{m-1}\left[\left\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\right\rfloor\geq j+1\right]\\&=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^{m-1}\left[ai+b\geq cj+c\right]\\&=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^{m-1}\left[ai\gt cj+c-b-1\right]\\&=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^{m-1}\left[i\gt\left\lfloor\dfrac{cj+c-b-1}{a}\right\rfloor\right]\end{align*}$

因为$i,j$独立，所以两个求和符号可以换过来

$\begin{align*}&=\sum\limits_{j=0}^{m-1}\sum\limits_{i=0}^n\left[i\gt\left\lfloor\dfrac{cj+c-b-1}{a}\right\rfloor\right]\\&=\sum\limits_{j=0}^{m-1}\left(n-\left\lfloor\dfrac{cj+c-b-1}{a}\right\rfloor\right)\\&=mn-f\left(c,c-b-1,a,m-1\right)\end{align*}$

$a,c$每次递归要么被①削成余数，要么被②交换位置，类似欧几里得算法，复杂度也是一样的

边界是$a=0$

那么我们现在可以快速求原来的式子了

本题其实就是在模$2$的意义下求答案

#include<stdio.h>
#define ll long long
ll f(ll a,ll b,ll c,ll n){
	if(a==0)return(b/c*(n+1))&1;
	if(a>=c||b>=c)return((a/c*n*(n+1)/2)&1)^((b/c*(n+1))&1)^f(a%c,b%c,c,n);
	ll m=(a*n+b)/c;
	return((n*m)&1)^f(c,c-b-1,a,m-1);
}
int main(){
	int t,i,n,a,b;
	ll ans;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
		ans=0;
		for(i=0;i<60;i++)ans|=(f(b,a,1ll<<i,n-1)<<i);
		printf("%lld\n",ans);
	}
}

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