《编程之美》求二叉树中节点的最大距离(动态规划)

本文探讨了如何求解二叉树中相距最远的两个节点间的距离问题,提出了两种解决方案并进行了对比分析,一种是在节点中加入额外信息的方式,另一种则是利用递归返回子树的最大深度和最大距离。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

问题定义(动态规划)

如果我们把二叉树看成一个图,父子节点之间的连线看成是双向的,我们姑且定义"距离"为两节点之间边的个数。写一个程序求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。

24134059_Yati.png

书上的解法

书中对这个问题的分析是很清楚的,我尝试用自己的方式简短覆述。

计算一个二叉树的最大距离有两个情况:

  • 情况A: 路径经过左子树的最深节点,通过根节点,再到右子树的最深节点。
  • 情况B: 路径不穿过根节点,而是左子树或右子树的最大距离路径,取其大者。

只需要计算这两个情况的路径距离,并取其大者,就是该二叉树的最大距离。

24134100_n2IG.png

我也想不到更好的分析方法。

但接着,原文的实现就不如上面的清楚 (源码可从这里下载):


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// 数据结构定义
struct NODE
{
    NODE* pLeft;       // 左子树
    NODE* pRight;      // 右子树
    int nMaxLeft;      // 左子树中的最长距离
    int nMaxRight;     // 右子树中的最长距离
    char chValue;      // 该节点的值
};
 
int nMaxLen = 0;
 
// 寻找树中最长的两段距离
void FindMaxLen(NODE* pRoot)
{
    // 遍历到叶子节点,返回
    if(pRoot == NULL)
    {
        return;
    }
 
    // 如果左子树为空,那么该节点的左边最长距离为0
    if(pRoot -> pLeft == NULL)
    {
        pRoot -> nMaxLeft = 0;
    }
 
    // 如果右子树为空,那么该节点的右边最长距离为0
    if(pRoot -> pRight == NULL)
    {
        pRoot -> nMaxRight = 0;
    }
 
    // 如果左子树不为空,递归寻找左子树最长距离
    if(pRoot -> pLeft != NULL)
    {
        FindMaxLen(pRoot -> pLeft);
    }
 
    // 如果右子树不为空,递归寻找右子树最长距离
    if(pRoot -> pRight != NULL)
    {
        FindMaxLen(pRoot -> pRight);
    }
 
    // 计算左子树最长节点距离
    if(pRoot -> pLeft != NULL)
    {
        int nTempMax = 0;
        if(pRoot -> pLeft -> nMaxLeft > pRoot -> pLeft -> nMaxRight)
        {
            nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxLeft;
        }
        else
        {
            nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxRight;
        }
        pRoot -> nMaxLeft = nTempMax + 1;
    }
 
    // 计算右子树最长节点距离
    if(pRoot -> pRight != NULL)
    {
        int nTempMax = 0;
        if(pRoot -> pRight -> nMaxLeft > pRoot -> pRight -> nMaxRight)
        {
            nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxLeft;
        }
        else
        {
            nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxRight;
        }
        pRoot -> nMaxRight = nTempMax + 1;
    }
 
    // 更新最长距离
    if(pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight > nMaxLen)
    {
        nMaxLen = pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight;
    }
}

这段代码有几个缺点:

  1. 算法加入了侵入式(intrusive)的资料nMaxLeft, nMaxRight
  2. 使用了全局变量 nMaxLen。每次使用要额外初始化。而且就算是不同的独立资料,也不能在多个线程使用这个函数
  3. 逻辑比较复杂,也有许多 NULL 相关的条件测试。

我的尝试

我认为这个问题的核心是,情况A 及 B 需要不同的信息: A 需要子树的最大深度,B 需要子树的最大距离。只要函数能在一个节点同时计算及传回这两个信息,代码就可以很简单:


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#include <iostream>
 
using namespace std;
 
struct NODE
{
    NODE *pLeft;
    NODE *pRight;
};
 
struct RESULT
{
    int nMaxDistance;
    int nMaxDepth;
};
 
RESULT GetMaximumDistance(NODE* root)
{
    if (!root)
    {
        RESULT empty = { 0, -1 };  // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.
        return empty;
    }
 
    RESULT lhs = GetMaximumDistance(root->pLeft);
    RESULT rhs = GetMaximumDistance(root->pRight);
 
    RESULT result;
    result.nMaxDepth = max(lhs.nMaxDepth + 1, rhs.nMaxDepth + 1);
    result.nMaxDistance = max(max(lhs.nMaxDistance, rhs.nMaxDistance), lhs.nMaxDepth + rhs.nMaxDepth + 2);
    return result;
}

计算 result 的代码很清楚;nMaxDepth 就是左子树和右子树的深度加1;nMaxDistance 则取 A 和 B 情况的最大值。

为了减少 NULL 的条件测试,进入函数时,如果节点为 NULL,会传回一个 empty 变量。比较奇怪的是 empty.nMaxDepth = -1,目的是让调用方 +1 后,把当前的不存在的 (NULL) 子树当成最大深度为 0。

除了提高了可读性,这个解法的另一个优点是减少了 O(节点数目) 大小的侵入式资料,而改为使用 O(树的最大深度) 大小的栈空间。这个设计使函数完全没有副作用(side effect)。

总的来说就是动态规划.....

转载于:https://my.oschina.net/wizardpisces/blog/116425

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