线性差分方程

线性差分方程介绍

线性微分方程是连续的，即变量t是连续的，需要求的是未知函数$y(t)$；线性差分方程是离散的，变量t的取值只能为整数，需要求的是未知序列$y_t$。

差分（difference），即相邻两个数据之间的差，也就是变化量，用$\Delta $来表示

$\Delta y_t = y_{t+1} – y_t$

$\Delta y_t$被定义为一阶差分，二阶差分定义如下

$\Delta^2 y_t = \Delta(\Delta y_t) = \Delta y_{t+1} – \Delta y_t = (y_{t+2} – y_{t+1}) – (y_{t+1} – y_t) = y_{t+2}-2y_{t+1} + y_t$

如此类推，n阶差分中包含的项为$y_t,y_{t+1},…,y_{t+n}$，最高与最低项的下标相差$n$。

 

线性差分方程类比到线性微分方程的式子，

$L[y_t] = \Delta^n y_t + A_1\Delta^{n-1}y_t +\cdot \cdot \cdot+  A_{n-1}\Delta y_t + A_ny_t$

式子当中的$\Delta t = 1$，因此省略了。把差分拆开后组合，得到

$L[y_t] = y_{t+n} + B_1y_{t+n-1}+ \cdot \cdot \cdot + B_{n-1} y_{t+1} + B_n y_t $

同样的，最高与最低项下标相差$n$。

 

二阶线性差分方程求解例子^[1]

下面的例子可以当作二阶线性差分方程求解的范例，从这些例子可以一步步深入了解线性差分方程。

 

二阶齐次线性差分方程（2nd-order Homogeneous Linear Difference Equation）

设有线性方程如下

$u_n = u_{n-1}+u_{n-2}$

其中$u_0 = 1,u_1 = 1$，求$u_n$。

 

解：

把u_n相关项移到等号左边：

$u_n – u_{n-1} –u_{n-2} = 0$

此时，等式右边为0，表明该方程为齐次（Homogeneous）。

假设：

$u_n = A\omega ^n$

那么：

$A\omega ^n – A\omega ^{n-1} – A\omega^{n-2} = 0$

等式两边同时除去$A\omega^{n-2}$：

$\omega^2 - \omega - 1 = 0$

上面是一个一元二次方程，其两个根分别为：

$\omega_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \ ,\   \omega_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$

任意$A_1$代入$u_n = A_1\omega_1^n$，都满足$u_n-u_{n-1}-u_{n-2} = 0$。

任意$A_2$代入$u_n = A-2\omega_2^n$，都满足$u_n-u_{n-1}-u_{n-2} = 0$。

因此我们这里得到一个通解：

$\color{red}{u_n = A_1\omega_1^n + A_2 \omega_2^n}$

把这个通解代入到$u_n-u_{n-1}-u_{n-2}$看是否得到0：

$(A_1\omega_1^n + A_2 \omega_2^n) – (A_1\omega_1^{n-1} + A_2 \omega_2^{n-1}) – (A_1\omega_1^{n-2} + A_2 \omega_2^{n-2}$

整理后，得到：

$A_1\omega_1^{n-2}(\omega_1^2-\omega_1-1) + A_2\omega_2^{n-2}(\omega_2^2 – \omega - 1)$

因为括号内的部分等于0，所以式子等于0。

把$\omega_1,\omega_2$的值代入通解，得到：

$u_2 = A_1\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + A_2\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n$

 

在忽略初始条件的时候我们得到上述通解，下面我们结合初始条件来求$A_1,A_2$的值…

$\left\{\begin{matrix}
u_0 = & A_1 + A_2 & = 1 \\
u_1 = & \frac{A_1(1+\sqrt{5}) + A_2(1-\sqrt{5})}{2} & = 1
\end{matrix}\right.$

解得：

$\left\{\begin{matrix}
A_1 &=& \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \\
A_2 &=& -\frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}
\end{matri