最小费用最大流问题

本文详细介绍了如何解决最小费用最大流问题,包括从初始0流量开始,构建费用网络图,寻找并调整增广链以增加流量并减少总费用。通过举例展示了一步步构造费用网络图和寻找最小费用路径的过程,最终找到网络的最小费用最大流。

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  复杂网络中,单源单点的最小费用最大流算法(MCMF)应用广泛。

  在实际网络问题中,不仅考虑从 Vs 到 Vt 的流量最大,还要考虑可行流在网络传送过程中的费用问题,这就是网络的最小费用最大流问题。

  最小费用最大流问题的一般提法:已知容量网络 D=(V ,A ,C),每条弧 (Vi,Vj) 除了已给出容量 Cij 外,还给出单位流量的传输费用 bij≥0,记作D=(V, A, C, B),其中bij ∈B。要在费用、容量网络 D 中寻找 Vs→Vt的最大流 f={fij},且使流的总传输费用:

b(f)=Σbij fij 最小

  从上一讲可知,最大流的求法就是在容量网络上从某个可行流出发,设法找到一条从 Vs→Vt 的增广链,然后沿着此增广链调整流量,作出新的流量增大了的可行流。在这个新的可行流基础上再寻找它的增广链。如此反复进行,直至再找不出增广链,就得到了该网络的最大流。

 

 

例子:给定费用、容量网络图(bij,cij),试求网络的最小费用最大流。

解:

(1)、初始取0流量,此时总费用为 f(0) = 0。

(2)、由原始网络构建费用网络图(费用网络图每条线路上的权重为bi

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