【hdu 5628】Clarke and math （Dirichlet卷积）-优快云博客

本文解析了HDU5628 Clarke和数学题的求解思路，利用狄利克雷卷积简化多层求和运算，并提供了一段C++代码实现，该实现使用了自定义的狄利克雷卷积函数来计算题目要求的g(i)。

题意

Given f(i),1≤i≤n, calculate
$\displaystyle g(i) = \sum_{i_1 \mid i} \sum_{i_2 \mid i_1} \sum_{i_3 \mid i_2} \cdots \sum_{i_k \mid i_{k-1}} f(i_k) \text{ mod } 1000000007 \quad (1 \le i \le n)$

题解

Dirichlet convolution -wiki
别人的题解
恒等函数1(n)=1。
那么$\sum_{i_k \mid i_{k-1}} f(i_k)$ 就是$f(i_k)$与$1(\frac {i_{k-1}} {i_k})$ 的狄利克雷卷积

然后再和$ 1(\frac {i_{k-2}} {i_{k-1}})$卷积。。。

再用的狄利克雷卷积满足交换律，所以就是 $g(i)=\sum_{j|i}f(j)1^k$

代码

const int N=201000;
int n,k;
ll tmp[N],x[N],f[N],ans[N];
void dirichlet(ll *ans, ll *x){
    mem(tmp,0);
    rep(i,1,sqrt(n)+1){
        tmp[i*i]+=ans[i]*x[i]%mod;
        rep(j,i+1,n/i+1){
            tmp[i*j]+=ans[i]*x[j]%mod;
            tmp[i*j]+=ans[j]*x[i]%mod;
        }
    }
    rep(i,1,n+1)
        ans[i]=tmp[i]%mod;
}
void qpow(){
    for(;k;k>>=1,dirichlet(x, x))
        if(k&1) dirichlet(ans, x);
}
int main() {
    int t;
    sf(t);
    while(t--){
        sf(n);sf(k);
        rep(i,1,n+1){
            sfl(f[i]);
            ans[i]=0;
            x[i]=1;
        }
        ans[1]=1;
        qpow();
        dirichlet(ans, f);
        rep(i,1,n+1)printf("%lld%c",ans[i],i==n?'\n':' ');
    }
    return 0;
}