陶哲轩实分析定理10.1.3:导数运算的积法则和商法则-优快云博客

本文探讨了实数域上两个可微函数乘积及商的导数计算法则，包括乘法法则：若函数f与g在极限点x0处可微，则其乘积fg在该点亦可微，导数为f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0)；除法法则：若g在x0处可微且不取零值，则1/g在该点可微，导数为-g′(x0)/g²(x0)。

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设$X$是$\mathbf{R}$的子集,$x_0$是$X$的极限点,设$f:X\to\mathbf{R},g:X\to\mathbf{R}$是函数.

如果$f$和$g$在$x_0$处可微，则$fg$在$x_0$处也可微，且
\begin{equation}
    \label{eq:15.12.14}
    (fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)
\end{equation}

证明:
\begin{align*}
        (fg)'(x_0)&=\lim_{\Delta x\to 0;\Delta x\neq 0}\frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0+\Delta x)-f(x_0)g(x_0)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0;\Delta x\neq 0}\frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0+\Delta x)-f(x_0)g(x_0+\Delta x)+f(x_0)g(x_0+\Delta x)-f(x_0)g(x_0)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0;\Delta x\neq 0}g(x_0+\Delta x)f'(x_0)+f(x_0)g'(x_0)\\&=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)
\end{align*}

如果$g$在$x_0$处可微，且$g$在$X$上不取零值，则$\frac{1}{g}$在$x_0$处也可微，且
\begin{equation}
\label{eq:15.12.29}
(\frac{1}{g})'(x_0)=-\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}
\end{equation}

证明:
$$
(\frac{1}{g})'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0;\Delta x\neq
    0}\frac{\frac{1}{g(x_0+\Delta x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0;\Delta x\neq 0}\frac{g(x_0)-g(x_0+\Delta x)}{g(x_0+\Delta x)g(x_0)\Delta x}=-\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}
$$