《几何与代数导引》习题1.38

在一个仿射标架中，设平面$\pi$的方程为$ax+by+cz=d$.对空间的每一点
$p(x,y,z)$,定义$f(p)=ax+by+cz-d$.证明：对于空间中任意两点$p_1,p_2$,它
们位于平面的两侧，当且仅当$f(p_1)f(p_2)<0$.

证明：当$c\neq 0$时，我们定义平面的上方:平面的上方集合$A$,
\begin{equation}
  A=\{(x,y,z)|ax+by+c(z-k)=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
当$c\neq 0$时，我们定义平面的下方：平面上的集合$B$,
\begin{equation}
  B=\{(x,y,z)|ax+by+c(z+k)=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
显然，$c\neq 0$时，$A\bigcap B=\emptyset$.

当$a\neq 0$时，我们定义平面的前方：平面的前方集合$C$,
\begin{equation}
  C=\{(x,y,z)|a(x-k)+by+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
当$a\neq 0$时，我们定义平面的后方：平面的后方是一个集合$D$,
\begin{equation}
  D=\{(x,y,z)|a(x+k)+by+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
显然$C\bigcap D=\emptyset$.

当$b\neq 0$时，我们定义平面的左方是一个集合$E$,
\begin{equation}
  E=\{(x,y,z)|ax+b(y+k)+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
当$b\neq 0$时，我们定义平面的右方是一个集合$F$,
\begin{equation}
  F=\{(x,y,z)|ax+b(y-k)+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}

显然$E\bigcap F=\emptyset$.我们知道，$a,b,c$不可能同时为0，否则平面将
不再是平面了.因此$p_1,p_2$位于平面的两侧，必定有如下三种情形之一：

1.一左一右
2.一上一下
3.一前一后

无论是哪种情形，我们都易得$f(p_1)f(p_2)<0$

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