动态索引之B树和B+树

基本概念

• 动态索引结构
  • 索引结构本身也可能发生改变
  • 在系统运行过程中插入或删除记录时
• 目的
  • 保持较好的性能
  • 例如较高的检索效率

B树

是一种平衡的多分树 (Balanced Tree)

m 阶 B 树的结构定义

• 每个结点至多有 m 个子结点
• 除根结点和叶结点外，其它每个结点至少有[m/2]个子结点
  • m/2恰好保证了在合并的时候不会因为合并而导致分裂，同时让每一层的结点尽可能得多，修改的话要么让树的深度增加，要么让删除操作变得复杂。
• 根结点至少有两个子结点
  • 唯一例外的是根结点就是叶结点时没有子结点
  • 此时 B 树只包含一个结点
• 所有的叶结点在同一层
• 有 k 个子结点的非根结点恰好包含 k-1个关键码（注意比k小1）

B树的节点结构

B 树的性质

1. 树高平衡，所有叶结点都在同一层
2. 关键码没有重复，父结点中的关键码是其子结点的分界
3. B 树把(值接近)相关记录放在同一个磁盘页中，从而利用了访问局部性原理
4. B 树保证树中至少有一定比例的结点是满的
   • 这样能够改进空间的利用率
   • 减少检索和更新操作的磁盘读取数目

B 树的查找

交替的两步过程

1. 把根结点读出来，在根结点所包含的关键码 K1，...，Kj中查找给定的关键码值
   • 找到则检索成功
2. 否则，确定要查的关键码值是在某个Ki和Ki+1 之间，于是取 pi 所指向的结点继续查找。如果pi 指向外部空结点，表示检索失败

B 树插入

• 注意保持性质，特别是等高和阶的限制
  • 找到最底层，插入
  • 若溢出，则结点分裂，中间关键码连同新指针插入父结点
  • 若父结点也溢出，则继续分裂
• 分裂过程可能传达到根结点(则树升高一层)

B树插入时，如果发生上溢出就分裂，为什么不是送给兄弟结点一些关键码？

因为插入操作大部分是发生在创建阶段，分裂的结点很快会增加新的关键码。而如果送给兄弟结点，则会修改兄弟结点和父结点，访外开销太大。

3阶B树（2-3树）的插入

最终根节点变为23。

B 树的删除

• 删除的关键码不在叶结点层，跟叶中后继对换
• 删除的关键码在叶结点层
  • 删除后关键码个数不小于[m/2]-1,直接删除
  • 关键码个数小于[m/2]-1
    • 如果兄弟结点关键码个数不等于[m/2]-1，从兄弟结点移若干个关键码到该结点中来(父结点中的一个关键码要做相应变化)
    • 如果兄弟结点关键码个数等于[m/2]-1,它所在结点的剩余关键字和指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到Ai所指兄弟结点中（若无右兄弟，则合并到左兄弟结点中）。如果因此使双亲结点中的关键字数目少于ceil(m/2)-1，则依次类推。

B 树的性能分析

• 包含 N 个关键码的 m阶B 树
  • 有 N+1 个外部空指针
  • 假设外部指针在第 k 层
    • k≤1+ log_m/2((N+1)/2)
• 没插入一个节点，节点平均分裂次数 s≤1/(m/2 -1)

B+ 树

是B 树的一种变形，在叶结点上存储信息

• 所有的关键码均出现在叶结点上
• 各层结点中的关键码均是下一层相应结点中最大关键码(或最小关键码)的复写

B+ 树的结构定义

m 阶 B+ 树的结构定义如下:

1. 每个结点至多有 m 个子结点
2. 每个结点(除根外)至少有[m/2]个子结点
3. 根结点至少有两个子结点
4. 有 k 个子结点 的结点必有 k 个关键码

B+ 树的查找

• 在上层已找到待查的关键码，并不停止
• 而是继续沿指针向下一直查到叶结点层的这个关键码

B+ 树的插入

插入——分裂

• 过程和 B 树类似
• 注意保证上一层结点中有这两个结点的最大关键码 (或最小关键码)

B+ 树的删除

• 当关键码下溢出时，与左或右兄弟进行调整(甚至合并)
• 关键码在叶结点层删除后，其在上层的复本可以保留，作为一个“分界关键码”存在
  • 也可以替换为新的最大关键码(或最小关键码)

B+ 树的存储效率实际上更高

• 假设一个主文件有N个记录，假设一个页块可以存m个(关键码，子结点页块地址)二元对
• 假设 B+ 树平均每个结点有 0.75m 个子结点
  • 充盈度为 (1+0.5)/2 = 75%
• 因此 B+ 树的高度为[log_0.75mN]
• 假设 B 树充盈度也是75%，由于B树包含隐含指针所以只能存储2/3个(关键码，隐含指针，子结点页块指针)，则 B 树结点有 0.667*0.75=0.5m 个子结点，B 树的高度为[log_0.5mN]，比B+树高

B+ 树应用得更为广泛

• B+ 树的存储效率更高、检索层次更少(树较矮)
• 因此，B+ 树应用得更为广泛
  • 数据库系统主码(primary key)索引
  • 基于B+树的磁盘文件虚拟存储存取管理 VSAM (Virtual Storage Access Method)，取代了基于多分树的 ISAM