数学基础

数学基础

最大公约数

更相减损

\(gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\)

证明：咕咕咕

欧几里得

只需要在更相减损的基础上把减法优化成取模即可：

\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)

裴蜀定理和exgcd（扩展欧几里得）

首先，有个神奇的东西叫裴蜀等式/裴蜀定理。

这里有一个不定方程：\(ax+by=m\)。

裴蜀定理就是如果上面这个不定方程有解当且仅当\(gcd(a,b)|m\)。且当这个不定方程有解时，一定有无数多组解。

证明：（咕咕咕）

对于方程：\(ax+by=gcd(a,b)\)，我们可以用exgcd算法找到这个式子的一组解，然后就能就能推出\(ax+by=m\)的解。

而\(ax+by=gcd(a,b)\)可以通过递归构造解来解决：
\[ a \bmod b=a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b \\假设存在x',y'使得x'b+y'(a \bmod b)=d \\则x'b+y'(a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b)=d \\把上面这个式子化成ay'+b(x'-y'\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor) \\然后我们可以从这一层推出上一层的解x=y',y=(x'-y'\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor) \]
特别的，当g欧几里得算法递归到最低一层时，是这个样子的：\(gcd(c,d),d=0\)

那么对于这种情况我们就可直接得出当前这一层对应的不定方程\(cx''+dy''=gcd(c,d)=c\)的解：\(x''=1,y''=0\)然后就可以倒推出上一层的解。

当我们知道一组特解\(x0,y0\)之后，我们可以推出这个方程的通解：\(x=x0+\frac {b}{d}*k,y=y0-\frac {a}{d}*k\)其中\(d=gcd(a,b)\)。 至于这个式子是怎么来的，我们可以把式子变成\(ax+by+\frac{ab}{d}-\frac{ab}{d}=d\)然后提一下公因式就好了。另外，为什么ab要除d而不是其他数字是因为\(d=gcd(a,b)\)。

至此，我们只求出了\(ax+by=gcd(a,b)\)的通解。

我们只需要在两边乘上\(\frac {m}{gcd(a,b)}\)即可，因为这里不变的是系数（x0,y0均乘上这个式子，\(a\)和\(b\)不变），所以依旧可以用前面的方法求出特解。

如果遇到求出最小的正整数\(x\)，我们可以设$p=\frac{b}{d} $，而我们需要的最小正整数x就是:

\((x0\bmod p+p)\bmod p\)

代码(引自KSKUN——欧几里得算法和扩展欧几里得算法)：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(b == 0) {
        x = 1; // 设置b=0时的特殊解 
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans = exgcd(b, a % b, x, y);
    int t = x; // 将x2, y2换算成x1, y1
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return ans;
}

线性同余方程

形如\(ax \equiv c\pmod b\)的式子我们称之为一元线性同余方程。

至于这个式子的求解，我们可以先把它化成\(ax+by=c\)的形式，其中\(y<0\)。就可以按照不定方程的做法做了。

欧拉函数

欧拉函数的性质

性质1-欧拉定理和扩展欧拉定理

欧拉定理：

当\(gcd(a,p)=1\)时，
\[ a^{\phi{p}}\equiv1 \pmod p \]
扩展欧拉定理：
\[ a^b\equiv \begin{cases} a^{b\%\phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\ a^{b\%\phi(p)+\phi(p)}~~~~gcd(a,p)\neq1,b\geq\phi(p) \end{cases}~~~~~~~(mod~p) \]

性质2-积性函数

\(\textrm{当\)a,b\(互质时 },\phi(a) \times \phi(b)=\phi (ab)\)

性质3-欧拉函数特有性质

1. $\textrm {when \(p\mid n\)},\phi(np)=\phi(n)*p$

   证明：

   令$\prod _{p_i\mid np,\textrm { \(p_i\) is prime}} (1-\frac{1}{p_i})=A$

   \(\phi(np)=np*A,\phi (n)=n*A\)

   显然，\(\phi(np)=\phi(n)*p\)

   得证

2. 当\(p\)为\(n\)的一个质因数，\(if\ \ p^2|n\ \ then\ \ \varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})*p\ \ else\ \ \varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})*\varphi(p)\)

   由上一个性质和积性函数性质，很容易可以证明

欧拉函数的求解

咕咕咕

先贴个\(O(\sqrt n)\)的求欧拉函数板子吧。

代码：

inline int getphi(int x) {
    int tmp = sqrt(x), res = x;
    for (int i = 1; i <= tmp; i++) {
        if (x % i == 0) {
            res -= res / i;
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    return x > 1 ? res - res / x : res;
}

当然，我们也可以用埃氏筛的思路来筛\([1,n]\)的欧拉函数。

代码：

inline int getphi(int x){
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(phi[i])continue;
        for(int j=i;j<=x;j+=i){
            if(!phi[j])phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    }
    return 0;
}

等比数列

求和

\(\sum _{i=1}^n a_i\)称为等比级数，记为\(S_i\)。

求和公式\(S_n=\frac{a_1q^n-a_1}{q-1}\)其中\(q=\frac{a_n}{a_{n-1}}\)。

证明：咕咕咕

逆元(inverse element)

组合数学

一些trick

• \([1,n!]\)中有多少个数能被\(p\)整除，可以直接用\(\sum _{i=1} \left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor\)来求解。
• \(\sum _{i=1}^n i^2=\frac {n*(n+1)*(2n+1)/6}{6}\)
• \(\text{when } p \text{ is prime},a^b \bmod p=a^{b \bmod p-1}\bmod p\)（使用欧拉定理推导）
• 如果要求解\(\left \lfloor \frac{a}{d} \right \rfloor\)其中d每次变化1，那么显然可以数论分块，当\(l=d\)，那么\(r=\frac{a}{\frac{a}{d}}\)。可以证明一共有\(\sqrt {n}\)种取值。

转载于:https://www.cnblogs.com/GavinZheng/p/10988153.html