回溯法---->8-皇后问题

本文详细介绍了八皇后问题的背景及解决方法,通过分析问题特点,给出了一种有效的递归算法来寻找所有可能的解决方案。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

八皇后问题

问题描述

将n个皇后放置在一个n×n的棋盘上,要求使得每两个之间都不能互相“攻击”,也就是使得每两个都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。

分析

  • 8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ,其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
  • 显式约束条件是si={1,2,3,4,5,6,7,8}, 1≤i≤8
  • 隐式约束条件是,没有两个xi可以相同且没有两个皇后可以在同一条斜角线上。
  • 解空间的大小8!个

测试两个皇后在一条斜角线的方法

假设有两个皇后被放置在(i, j)和(k,l)位置上,那么根据以上所述,仅当i – j = k - l 或 i + j = k + l时,它们才在同一条斜角线上。将这两个等式分别变换成j – l= i - k 和 j – l = k - i  因此,当且仅当| j – l | = | i – k |时。两个皇后在同一条斜角线上。

检测放置新皇后的算法

过程PLACE(k)测试两种情况,即X(k)是否不同于前面X(1),…,X(k-1)的值以及在同一个斜角线上是否根本就没有别的皇后。

procedure PLACE(k)

//如果一个皇后可以放在第k行和X(k)列,则返回true;否则返回false//

    global X(1:k); integer i ,k

    i ← 1

  while i<k do

       if X(i)=X(k)//在同一列有两个皇后

           or ABS(X(i)-X(k))=ABS(i-k)//在同一条斜角线上

             then return (false)

             i ← i + 1

      repeat

      return (true)

End PLACE

8-皇后问题求解算法

过程NQUEENS求n-皇后问题的所有解

procedure NQUEENS(n)

   integer k, n, X(1:n)

   X(1) ← 0; k ← 1   //K是当前行;X(k)是当前列

    while k>0 do      //对所有的行执行一下语句

         X(k) ←X(k)+1           //移到下一列

         while X(k) ≤ n and not PLACE(k) do //此处能放这个皇后吗

        X(k) ←X(k)+1

     repeat

     if X(k) ≤ n    //找到一个位置

     then if k=n    //是一个完整的解吗

          then print (X) //是,打印这个数组

          else k ← k+1 , X(k) ← 0  //转到下一行

           endif

      else k ← k-1 //回溯

     endif

   repeat

End NQUEENS

 

### N皇后问题回溯法算法实现与原理 #### 1. 回溯法的核心思想 回溯法是一种系统化的试探法,它通过逐步构建候选解并不断评估其可行性来解决问题。对于N皇后问题而言,目标是将N个皇后放置在一个N×N的棋盘上,使得它们互不攻击。这意味着任意两个皇后不能位于同一行、同一列或同一条对角线上。 为了满足这些约束条件,回溯法采用了一种深度优先搜索的方式,逐行尝试放置皇后,并利用剪枝技术排除不可能的情况。具体来说,当某个位置被选作皇后的放置点时,程序会检查这个位置是否违反了上述规则。如果发现冲突,则立即停止对该路径的进一步探索;如果没有冲突,则继续向下一层递归处理剩余未安排的位置[^1]。 #### 2. 算法的具体步骤 以下是基于C++语言的一种典型实现方式: ```cpp #include <iostream> using namespace std; class Queen { public: bool Place(int k); void BackTrack(int t); void Output(); int n; int* x; long sum; }; bool Queen::Place(int k) { for (int j = 1; j < k; j++) { if ((abs(k - j) == abs(x[j] - x[k])) || (x[k] == x[j])) return false; } return true; } void Queen::BackTrack(int t) { if (t > n) { Output(); sum++; } else { for (int i = 1; i <= n; i++) { x[t] = i; if (Place(t)) BackTrack(t + 1); } } } void Queen::Output() { for (int i = 1; i <= n; i++) cout << " (" << i << "," << x[i] << ")"; cout << endl; } ``` 在此代码片段中定义了一个名为`Queen`的类用于封装整个求解过程中的状态变量以及主要操作函数。其中包含了三个重要成员函数: - `Place`: 负责检测当前位置是否合法; - `BackTrack`: 实现核心递归逻辑; - `Output`: 打印当前找到的一有效布局方案[^4]。 #### 3. 时间复杂度分析 由于每次都需要考虑新的可能位置,并且要验证之前已放下的所有皇后之间的关系,因此理论上最坏情况下的时间开销接近O(N!)级别。然而实际运行过程中往往能够借助有效的剪枝手段大幅减少不必要的计算量,从而提高整体性能表现[^5]。 #### 4. 结果输出形式说明 最终结果通常以二维数形式呈现出来,每一个元素要么标记为'Q'(表示此处存在一个皇后),要么为空白字符'.',以此直观反映出各个皇后在整个棋盘上的确切分布状况[^2]。 ---
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值