计算机数学基础 刘树利,计算机数学基础课件教学课件作者刘树利10课件.ppt

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第十章　行列式与矩阵 定义10.14 　　设A为n阶方阵，若r(A)=n，则称A为满秩矩阵，或非奇异的，或非退化的。 例如 等都是满轶矩阵。 关于满轶矩阵我们有如下重要定理。 定理10. 4 　　任何满秩矩阵都能经过初等行变换成单位矩形。 ?10.5.1 逆矩阵的概念 10.5　逆矩阵 ? 对于一般线性方程组 ?? 由于方程组的解是由未知量的系数 a ij 和常数项 b j 决定，为此，我们把未知量的系数 a ij 和常数项 b j 分别以矩阵的形式给出，记 ?? 由10.3 节矩阵的乘法运算以及相等的概念，则方程组(10.5.1)可用矩阵表示为??? ??????????????????????????????????????????????? AX=b.???? (10.5.2) 另外我们记 定义10.15 设A是 n 阶方阵，E 是 n 阶单位矩阵，若存在一个 n 阶方阵 C，使得AC=CA=E，则称 C 为方阵 A 的逆矩阵(简称逆阵)。记作A-1，即 A-1A=AA-1=E。若有逆矩阵存在，则称A是可逆的。 有了逆阵的概念，方程组(10.5.2)中，若A 可逆，则 ?? ? ???????????????? AX=b A-1=A-1b EX=A-1b X=A-1b. 即可用逆矩阵法求方程组的解。 ?10.5.2 逆矩阵的性质 ?10.5.3 逆矩阵存在的充要条件 由式(10.1.15)知，n 阶行列式det A等于它任一行(列)元素和它对应代数余子式的乘积之和，且任意一行(列)元素和其他行(列)各元素对应代数余子式乘积之和为零，所以我们把det A中所有元素的代数余子式按一定顺序排列得到一个新的矩阵——伴随矩阵。 定义10.15 设n阶方阵A=(a ij ) n×n，其行列式det A中各元素a ij 的代数余子式为A ij，将A ij 按det A中a i的顺序排列成方阵，再转置后得的方阵称为方阵A的伴随矩阵，记作A*，即 由式( 10.1.15 )易知 同理可得 A*A=(det A)E。?? 若 det A≠0，则有 这说明方阵A 可逆，且A -1= ，再由性质10.11，得下面一个定理。 定理10.5 方阵 A 可逆的充要条件是det A≠0，且当 A 可逆时有A-1= .由定理10.5可以得到以下两个方面： (1) 判断方阵A 是否可逆：先求出det A，若det A≠0，则A一定可逆；否则，A一定不可逆； (2) 用伴随矩阵求逆阵：先求出det A 的值判定方阵A是否可逆；若det A≠0，再按A*中A ij的排列顺序分别求出det A中元素a ij 的代数余子式A ij，求出A*，则A-1= 。 定理10.6 n 阶矩阵A可逆的充要条件是A为满秩矩阵，即 r (A)=n. 如 定理10.7 设A、B都是n阶方阵，若AB=E，则A、B均为可逆矩阵，且A-1=B. 证?? 因为AB=E，det(AB)=det A det B=det E=1，所以det A≠0知A可逆，设逆阵为A-1，由于 ????????????????????? BA=E(BA)=(A-1A)(BA)=A-1(AB)A=A-1EA=A-1A=E， ???? 所以B是A的逆矩阵，再由逆矩阵的惟一性知A-1=B. 利用定理10.7判定矩阵A是否可逆，比直接用定义判定要简单。 ?10.5.4? 逆矩阵的求法 具体方法是：对n×2n矩阵(A E)进行一系列初等行变换，当A变成E时，右边的E 就同步地变成A-1，于是有如下定理 定理10.8 可逆矩阵A经过一系列初等行变换后，一定可化为单位矩阵，同时，同样的初等行变换作用于E，可将E化为A-1。 ?10.5.5? 矩阵方程的求解 ???? 设A为n阶可逆方程，B n×m为已知矩阵，X n×m为未知矩阵，且AX=B，我们来求解这样的矩阵方程。 ? ?? 由于A可逆，设逆阵为A-1，对方程两端左乘A-1，可得X=(A-1A)X=A-1B。而对A左乘A-1，实际上就相当于对A作初等行变换化为单位矩阵，同样的变换作用于B，即得A-1B，亦即X。 ? ?? 类似地，设B n×m为已知矩阵，X n×m为未知矩阵，且XA=B，也可以用初等列变换的方法直接求出。 ?10.6.1 实验目的 1. 掌握Mathematica中