LOJ6436 PKUSC2018 神仙的游戏

最新推荐文章于 2019-10-19 15:07:15 发布

weixin_33726943

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原文链接：http://www.cnblogs.com/hanyuweining/p/11049287.html

博客围绕PKUSC2018题目展开，介绍通过找01对位置差筛掉不符合的border，阐述了border、周期相关理论，说明根据位置差筛选的原理。还提及求01位置差不能用枚举法，可借鉴FFT匹配字符串，翻转多项式求卷积来解决。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

PKUSC2018除了主斗地都补完啦

好大啊【糟糕的语言

主斗地等什么时候空下来较长的时间再补吧。。。

回到这个题

当时听罗大讲并没有听明白...但是大概还是懂了的就是我们可以通过找到所有01对位置差来筛掉所有不符合的border 具体证明放下面了

首先我们介绍一点基本的border相关理论

1.长度为x的border代表着长度为x的前缀与长度为x的后缀相同

2.长度为x的周期代表着每隔x个字符一截每一段都相同【除最后一段可能不够长

3.长度为i的border对应着长度为n-i的周期

那么对于一对01位置差为x 那么显然border不能让他们重合所以对于y|x 一定不存在长度为n-y的border

这个简单画画就可以理解

有了所有的位置差我们可以筛一下就行了这就是调和级数啦所以我们问题解决了一半

接下来我们就要求所有的01位置差

枚举肯定是不行的但是可以过O(n^2)的67部分分[huaji]

然后我们需要找更好的办法这时你可以想到原来的FFT匹配字符串详情可见这里

可以设 $A(x)=\sum [ch_i==0]x^i$ , $B(x)=\sum [ch_i == 1]x^i$

然后正常求卷积的话我们求出来是位置和根据常见套路我们翻转一个多项式就ok啦

具体写法什么的看看代码比较吼w 这个题也不长挺好的

//Love and Freedom.
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
#define inf 20021225
#define N 500010
#define mdn 998244353
#define G 3
using namespace std;

int ksm(int bs,int mi)
{
    int ans=1;
    while(mi)
    {
        if(mi&1)    ans=(ll)ans*bs%mdn;
        bs=(ll)bs*bs%mdn; mi>>=1; 
    }
    return ans;
}
int r[N<<2],inv;
int pre(int n)
{
    int l=0,lim=1;
    while(lim<n)    lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;i++)    r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    inv=ksm(lim,mdn-2); return lim;
}
void ntt(int *a,int lim,int f)
{
    for(int i=0;i<lim;i++)    if(r[i]>i)
        swap(a[r[i]],a[i]);
    for(int k=2,mid=1;k<=lim;k<<=1,mid<<=1)
    {
        int Wn=ksm(G,(mdn-1)/k);
        if(f)    Wn=ksm(Wn,mdn-2);
        for(int i=0,w=1;i<lim;i+=k,w=1)
            for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn)
            {
                int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+mid+j]%mdn;
                a[i+j]=(x+y)%mdn; a[i+j+mid]=(mdn+x-y)%mdn;
            }
    }
    if(f)    for(int i=0;i<lim;i++)    a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn;
}
bool bor[N]; int a[N<<2],b[N<<2],n; char ch[N];
void sieve()
{
    for(int i=1;i<n;i++)    for(int j=i;j<n;j+=i)
        if(a[n-j-1]|a[n+j-1]){bor[n-i]=0;break;}
}
ll getans()
{
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)    ans^=((ll)bor[i]*i*i);
    return ans;
}
int main()
{
    memset(bor,1,sizeof(bor));
    scanf("%s",ch); n=strlen(ch);
    for(int i=0;i<n;i++)    a[i]=(ch[i]=='0'),b[i]=(ch[n-i-1]=='1');
    int lim=pre(n<<1);
    ntt(a,lim,0); ntt(b,lim,0);
    for(int i=0;i<lim;i++)    a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mdn;
    ntt(a,lim,1); sieve();
    printf("%lld\n",getans());
    return 0;
}