判断三角形形状

最新推荐文章于 2022-09-24 18:24:38 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/8126020.html

前言

一、判断依据

主要是正、余弦定理的角的形式或者边的形式，其次还可能用到诱导公式，两角和与差的公式和二倍角公式等，

二、变形思路：

①角化边，利用$sinA=\cfrac{a}{2R}$等，转化为只有边的形式，然后通过因式分解、配方等，解代数方程得到边的相应关系，从而判断形状；

②边化角，利用$a=2RsinA$等，转化为只有角的形式，然后通过三角恒等变换，解三角方程得到，得到内角的关系，从而判断形状；此时要注意约分时$sinA\neq 0$恒成立，约掉$cosA$时要注意分类讨论。

三、重要结论

$sinA=sinB\Rightarrow A=B$或$A+B=\pi$(舍去)，等腰三角形

$sin2A=sin2B\Rightarrow 2A=2B$或$2A+2B=\pi$，即$A=B$或$A+B=\cfrac{\pi}{2}$，等腰三角形或直角三角形；

$cosA=cosB\Rightarrow A=B$，等腰三角形

$cos2A=cos2B\Rightarrow 2A=2B$，等腰三角形

$sin(A-B)=0\Rightarrow A=B$，等腰三角形

射影定理：

$a=bcosC+ccosB$；$b=acosC+ccosA$；$c=bcosA+acosB$；

四、典例剖析

例1设$\Delta ABC$的内角$A，B，C$所对的边分别为$a，b，c$，若$bcosC+ccosB=asinA$，则$\Delta ABC$的形状为【】
A、锐角三角形 $\hspace{2cm}$ B、直角三角形 $\hspace{2cm}$ C、钝角三角形 $\hspace{2cm}$ D、不确定

分析：用正弦定理的边的形式，边化角，得到$sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA$，即$sin(B+C)=sinA=sinAsinA$，

由于$sinA\neq 0$，故$sinA=1$，故$A=\cfrac{\pi}{2}$，故为直角三角形。

反思总结：1、不是所有的题目都即可以角化边，也可以边化角。比如本题目如果角化边，得到$b\cdot \cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c\cdot \cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=a\cdot \cfrac{a}{2R}$，接下来$R$没办法处理，思路陷入僵局。

2、角化边是应该是$sinA=\cfrac{a}{2R}$，而不是$sinA=a$，我们碰到的题目大多能左右约掉$2R$，但不是所有都可以约掉。

例2上例中的条件变为:若$2sinAcosB=sinC$,则$\Delta ABC$的形状为【】

A、直角三角形 $\hspace{2cm}$ B、等腰三角形 $\hspace{2cm}$ C、等腰直角三角形 $\hspace{2cm}$ D、正三角形

分析：由条件$2sinAcosB=sinC$得到，$2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB$，

整理得到$sinAcosB-cosAsinB=0$，即$sin(A-B)=0$，

故$A=B$，即为等腰三角形。

法2：角化边，$2\cfrac{a}{2R}\cdot \cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\cfrac{c}{2R}$，

变形整理得到$a^2+c^2-b^2=c^2$，即$a^2=b^2$，则$a=b$，故为等腰三角形。

例3上例中的条件变为：若$acosA=bcosB$，则$\Delta ABC$的形状为【】

A、直角三角形 $\hspace{2cm}$ B、等腰三角形 $\hspace{2cm}$ C、等腰直角三角形 $\hspace{2cm}$ D、等腰或直角三角形

法1：边化角，得到$sinAcosA=sinBcosB$，即$sin2A=sin2B$，

故$2A=2B$或$2A+2B=\pi$，

故$A=B$或$A+B=\cfrac{\pi}{2}$，则为等腰或直角三角形。

法2：角化边，$a\cdot \cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=b\cdot \cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，

两边同乘以$ab$，得到$a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(a^2+c^2-b^2)$，

变形整理得到$(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0$，

故$a^2=b^2$或$a^2+b^2=c^2$，

即所求三角形为等腰或直角三角形。

例4上例中的条件变为：若$2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC$，且$sinB+sinC=1$，试判断$\Delta ABC$的形状。

分析：角化边，得到$2a^2=(2b+c)b+(2c+b)c$，

即$a^2=b^2+c^2+bc$，即$b^2+c^2-a^2=-bc$；

故$cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\cfrac{1}{2}$，则$A=\cfrac{2\pi}{3}$，且有$sinA=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$。

再将$a^2=b^2+c^2+bc$边化角，得到$sin^2A=sin^2B+sin^2C+sinBsinC$

$sinA=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$代入上式得到$\cfrac{3}{4}=(sinB+sinC)^2-sinBsinC$，

得到$sinBsinC=\cfrac{1}{4}$，又由$sinB+sinC=1$解得$sinB=sinC=\cfrac{1}{2}$，

由$B、C\in (0，\cfrac{\pi}{3})$，

故可得$B=C=\cfrac{\pi}{6}$，

综上可得$\Delta ABC$的形状为等腰钝角三角形。

反思总结：本题目若从边化角入手，会变得比较复杂。

例5在$\Delta ABC$中，若$sin^2A+sin^2B < sin^2C$，则$\Delta ABC$的形状为【】

A、锐角三角形 $\hspace{2cm}$ B、直角三角形 $\hspace{2cm}$ C、钝角三角形 $\hspace{2cm}$ D、不确定

分析：角化边，得到$a^2+b^2<c^2$，故选C。

例6设$a，b，c$ 为三角形$ ABC$ 的三边，$a≠1$，$b<c$，若 $log_{c+b}a+log_{c-b}a=2log_{c+b}a\cdot log_{c-b}a$，则三角形$ABC$ 的形状为______三角形。

分析：本题目主要考查对数的变形，由$log_{c+b}a+log_{c-b}a=2log_{c+b}a\cdot log_{c-b}a$，

得到$\cfrac{1}{log_a(c+b)}+\cfrac{1}{log_a(c-b)}=2\cfrac{1}{log_a(c+b)}\times\cfrac{1}{log_a(c-b)}$，

两边同乘以$log_a(c+b)\cdot log_a(c-b)$，

去分母得到$log_a(c+b)+log_a(c-b)=2$，即$log_a(c^2-b^2)=2$，

则有$a^2=c^2-b^2$，即$a^2+b^2=c^2$，

三角形$ABC$ 的形状为$\underline{直角}$三角形。

例7【2017•潍坊模拟】在$\Delta ABC$中，$cos^2\cfrac{B}{2}=\cfrac{a+c}{2c}$，$a，b，c$分别为角$A，B，C$的对边，则$\Delta ABC$的形状为【】

A、等边三角形 $\hspace{2cm}$ B、直角三角形 $\hspace{2cm}$ C、等腰或直角三角形 $\hspace{2cm}$ D、等腰或直角三角形

分析：$cos^2\cfrac{B}{2}=\cfrac{1+cosB}{2}$，又已知$cos^2\cfrac{B}{2}=\cfrac{a+c}{2c}$，

则$\cfrac{1+cosB}{2}=\cfrac{a+c}{2c}$，化简得到$c(1+cosB)=a+c$，

变形得到$cosB=\cfrac{a}{c}$，即$\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\cfrac{a}{c}$，即$a^2+c^2-b^2=2a^2$；

即$a^2+b^2=c^2$，故三角形$ABC$ 的形状为$\underline{直角}$三角形。选B。

例8【2019届高三理科数学资料用题】在$\Delta ABC$中，其内角$A，B，C$所对的边分别为$a，b，c$，若$\cfrac{c}{b}<cosA$，则$\Delta ABC$的形状为【】

$A、钝角三角形$ $B、直角三角形$ $C、锐角三角形$ $D、等边三角形$

法1：角化边，$\cfrac{c}{b}<\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，

即$b^2+c^2-a^2<2c^2$，即$a^2+c^2-b^2<0$，

故$cosB=\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}<0$，故故是钝角三角形，选$A$。

法2：边化角，由$\cfrac{c}{b}<cosA$，得到$\cfrac{sinC}{sinB}<cosA$，

即$sinC<cosAsinB$，即$sin(A+B)<cosAsinB$，打开整理为

$sinAcosB<0$，由于$sinA>0$，则$cosB<0$，故是钝角三角形，选$A$。

例9【2019届高三理科数学资料用题】

在$\Delta ABC$中，角$A、B、C$的对边分别为$a、b、c$，且$2a\cdot sinA=(2b-c)sinB+(2C-B)sinC$，

(1)求角$A$的大小；

分析：由于$2a\cdot sinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC$，角化边得到，

$2a^2=(2b-c)b+(2c-b)c$，整理即$bc=b^2+c^2-a^2$，

故$cosA=\cfrac{1}{2}$，又$A\in (0，\pi)$，故$A=60^{\circ}$。

(2)若$sinB+sinC=\sqrt{3}$，试判断$\Delta ABC$的形状。

分析：由于$A=60^{\circ}$，故$B+C=120^{\circ}$，

由$sinB+sinC=\sqrt{3}$，即$sinB+sin(120^{\circ}-B)=\sqrt{3}$，

打开整理得到，$sin(B+30^{\circ})=1$，

由于$B\in (0^{\circ}，120^{\circ})$，则$B+30^{\circ}\in (30^{\circ}，150^{\circ})$，

故$B+30^{\circ}=90^{\circ}$，即$B=60^{\circ}$，

所以三角形为正三角形。

例10【2019届高三理科数学资料用题】

在$\triangle ABC$中，$sin(A+B)sin(A-B)=sin^2C$，则三角形的形状为【】

$A、等腰三角形$ $B、直角三角形$ $C、等边三角形$ $D、等腰直角三角形$

分析：由于$sin(A+B)=sinC$，两边约分，得到$sin(A-B)=sinC=sin(A+B)$，

打开整理得到，$2cosAsinB=0$，由于$sinB\neq 0$，

故$cosA=0$，即$A=\cfrac{\pi}{2}$，故为直角三角形，选$B$。

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