Codeforces 185A Plant（递推关系 + 矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2021-11-09 20:47:28 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/WArobot/p/6803796.html

本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定递推序列问题的方法。通过定义特定的矩阵关系，利用矩阵乘法和快速幂运算，高效计算出第n年向上小三角形的数量。文章还提供了完整的C++代码实现。

链接：传送门

题意：输出第 n 年向上小三角形的个数 % 10^9 + 7

思路：

设 Fn 为第 n 年向上小三角形的个数，经过分析可以得到 Fn = 3 * Fn-1 + ( 4^(n-1) - Fn-1 )，根据这个递推式可以用矩阵快速幂来解决。
下面三个矩阵设为矩阵 a ，b ，ans
- 矩阵 a：
2 1
0 4
- 矩阵 b：
Fn-1 0
4^(n-1) 0
- 矩阵 ans：
Fn 0
4^n 0
- 这样就可以表示出上方递推关系了，所以 ans = Matrixpow( a, n-1 ) * b（ n > 1 ）

2	1
0	4

Fn-1	0
4^(n-1)	0

Fn	0
4^n	0

balabala：看来矩阵快速幂一般和递推关系相结合呀～

/*************************************************************************
    > File Name: codeforces185At2.cpp
    > Author:    WArobot 
    > Blog:      http://www.cnblogs.com/WArobot/ 
    > Created Time: 2017年05月03日 星期三 19时42分09秒
 ************************************************************************/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MOD = 1000000007;
const int maxn = 3;
#define ll long long
#define mod(x) ((x)%MOD)

struct mat{
    int m[maxn][maxn];
}unit;

mat operator *(mat a,mat b){
    mat ret;
    ll  x;
    for(int i=0;i<2;i++){
        for(int j=0;j<2;j++){
            x = 0;
            for(int k=0;k<2;k++)
                x += mod( (ll)a.m[i][k]*b.m[k][j] );
            ret.m[i][j] = x;
        }
    }
    return ret;
}
mat pow_mat(mat a,ll x){
    mat ret = unit;
    while(x){
        if(x&1) ret = ret*a;
        a = a*a;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}
void init_unit(){
    for(int i=0;i<2;i++)    unit.m[i][i] = 1;
    return;
}

mat a,b;
void init(){
    memset(a.m,0,sizeof(a.m));
    memset(b.m,0,sizeof(b.m));
    a.m[0][0] = 2; a.m[0][1] = 1; a.m[1][1] = 4;
    b.m[0][0] = 3; b.m[1][0] = 4;
}
int main(){
    init_unit();
    init();
    ll n;
    while(cin>>n){
        if(n==0)        cout<<"1"<<endl;
        else if(n==1)   cout<<"3"<<endl;
        else{
            mat ans = pow_mat(a,n-1);
            ans = ans*b;
            cout<< mod(ans.m[0][0]) <<endl; 
        }
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/WArobot/p/6803796.html