约瑟夫问题

问题提出：

n个人（编号1~n)围成一个圈，从1开始依次报数，报到m的出列，剩下的人继续从1开始报数（由刚出列的人的下一个人开始）。求最后出列的人（胜利者）的编号。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
   k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2，并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k     --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
k-2 --> n-2
变换后就成为了(n-1)个人报数的子问题，假如这个子问题的解：x是胜利者，那么根据上表寻找x对应的值，这个值就是n个人时的解。变回去的公式：x'=(x+k)%n=(x+m)%n.
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题。
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;   (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1至n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

这个算法的时间复杂度为O(n)。