P5159 WD与矩阵

最新推荐文章于 2025-08-15 23:10:13 发布

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文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/dreagonm/p/10550269.html

博客围绕奇怪的结论题展开，采用增量构造法，指出题目要求每行每列有偶数个1时，最后一列一行可调整前面n - 1阶矩阵的值，答案是2 ^ ((n - 1)(m - 1))。还介绍了证明过程，假设每行是二进制数，最后一行是前面的异或和，且长度为m的二进制数有偶数个二进制位的有2 ^ (m - 1)个。

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思路

奇怪的结论题
考虑增量构造，题目要求每行每列都有偶数个1，奇偶性只需要增减1就能够调整了，所以最后一列一行一定能调整前面n-1阶矩阵的值，所以前面可以任选
答案是\(2^{(n-1)(m-1)}\)

当时怎么也考虑不清楚最后一行和最后一列交点的值，但是莽了一发发现对了。。
看了shadowice1984的题解之后才学会了证明
假设每行填的都是一个二进制数，最后一行填的必然是前面的异或和
因为每行的数都有偶数个二进制位，对于异或，有\(bitcount(a\oplus b)=bitcount(a)+bitcount(b)-2\times bitcount(a \& b)\)
所以最后一行必然有偶数个二进制位，必然合法
另外，长度为m的二进制数有偶数个二进制位的恰好有\(2^{m-1}\)个

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
int n,m;
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main(){
    int T;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld %lld",&n,&m);
        printf("%lld\n",pow(2,(n-1)*(m-1)));
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/dreagonm/p/10550269.html