CF 741D. Arpa’s letter-marked tree and Mehrdad’s Dokhtar-kosh paths [dsu on tree 类似点分治]...-优快云博客

本文介绍了一道关于有根树和回文路径的算法题CF741D的解题思路。通过使用DSU on Tree技术，文章详细解释了如何计算每个子树中最长的边，该边上的字母重新排列后能构成回文。文中还提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

　D. Arpa’s letter-marked tree and Mehrdad’s Dokhtar-kosh paths

CF741D
题意：
一棵有根树，边上有字母a~v，求每个子树中最长的边，满足这个边上的所有字母重拍后可以构成回文

发明者自己出的题...orz

由于本来知道就是dsu on tree，所以还是想出来了

首先点分治是没法做了，这是有根树

写成二进制，两条链合起来构成回文\(\rightarrow\)异或和为0或者只有一位是1
一开始困惑于只处理到当前根的异或和的话，随着当前根的变化异或值会变
然后发现我们可以处理到根的异或和，两条链异或之后\(lca\)之上的部分正好没有了
用\(f[i]\)记录到根的异或和为\(i\)的最大深度

进行dsu on tree
当前子树的答案先\(max\)一下孩子的答案，然后类似于点分治处理经过当前根的路径
和点分治一样，一个一个轻儿子处理，先更新答案再更新信息\(f\)

如果当前是父亲的轻儿子，那么要清空\(f\)的信息

说一下起初的错误：

单独用了一个\(g\)记录轻儿子，这是不对的，因为当前的子树要么是重儿子，应该一直保留；要么是轻儿子，到时候全清除就可以了。
一定不能整体操作重儿子的信息，要不然复杂度就不对了
这里有一个\(trick\)，因为有根树处理一棵子树我们可以提前搞出\(dfs\)序就不用每次\(dfs\)了，常数优化显著

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pii pair<int, int>
#define MP make_pair 
#define fir first
#define sec second
const int N=5e5+5, M=1e7+5;
int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}

int n, x;
char s[5];
struct edge{int v, ne, c;}e[N<<1];
int cnt, h[N];
inline void ins(int u, int v, int c) {
    e[++cnt]=(edge){v, h[u], c}; h[u]=cnt;
}

int Xor[N], dfc, ver[N];
pii dfn[N];
void dfsPre(int u) {
    dfn[u].fir = ++dfc; ver[dfc] = u;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne) Xor[e[i].v] = Xor[u]^e[i].c, dfsPre(e[i].v);
    dfn[u].sec = dfc;
}

int size[N], mx[N], deep[N];
void dfs(int u) {
    size[u]=1;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne) {
        deep[e[i].v] = deep[u]+1;
        dfs(e[i].v);
        size[u] += size[e[i].v];
        if(size[e[i].v] > size[mx[u]]) mx[u] = e[i].v;
    }
}

int ans[N], f[M];
void dfs(int u, int keep) { 
    int &cur = ans[u];
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne) 
        if(e[i].v != mx[u]) dfs(e[i].v, 0), cur = max(cur, ans[e[i].v]);
    if(mx[u]) dfs(mx[u], 1), cur = max(cur, ans[mx[u]]);

    int now = Xor[u], d = deep[u];
    if(f[now]) cur = max(cur, f[now] - d);
    for(int i=0; i<=21; i++) 
        if(f[now^(1<<i)]) cur = max(cur, f[now^(1<<i)] - d);
    f[now] = max(f[now], d);

    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne) if(e[i].v != mx[u]) {
        int l = dfn[e[i].v].fir, r = dfn[e[i].v].sec;
        for(int j=l; j<=r; j++) {
            int x = ver[j], now = Xor[x];
            if(f[now]) cur = max(cur, f[now] + deep[x] - (d<<1));
            for(int i=0; i<=21; i++) 
                if(f[now^(1<<i)]) cur = max(cur, f[now^(1<<i)] + deep[x] - (d<<1));
        }
        
        for(int j=l; j<=r; j++) 
            f[ Xor[ver[j]] ] = max(f[ Xor[ver[j]] ], deep[ver[j]]);
    }

    if(!keep) {
        int l = dfn[u].fir, r = dfn[u].sec;
        for(int j=l; j<=r; j++) f[ Xor[ver[j]] ] = 0;
    }
}
int main() {
    //freopen("in","r",stdin);
    n=read();
    for(int i=2; i<=n; i++) x=read(), scanf("%s",s), ins(x, i, 1<<(s[0]-'a') );
    dfsPre(1);
    deep[1]=1; dfs(1);
    dfs(1, 0);
    for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",ans[i]);
}

这里是没用dfs序的版本

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pii pair<int, int>
#define MP make_pair 
#define fir first
#define sec second
const int N=5e5+5, M=1e7+5;
int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}

int n, x;
char s[5];
struct edge{int v, ne, c;}e[N<<1];
int cnt, h[N];
inline void ins(int u, int v, int c) { //printf("ins %d %d %d\n",u,v,c);
    e[++cnt]=(edge){v, h[u], c}; h[u]=cnt;
}

int Xor[N];
void dfsXor(int u) {
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne) Xor[e[i].v] = Xor[u]^e[i].c, dfsXor(e[i].v);
}

int size[N], mx[N], deep[N], big[N];
void dfs(int u) {
    size[u]=1;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne) {
        deep[e[i].v] = deep[u]+1;
        dfs(e[i].v);
        size[u] += size[e[i].v];
        if(size[e[i].v] > size[mx[u]]) mx[u] = e[i].v;
    }
}

int ans[N], f[M];
void update(int u, int &ans, int d) {
    int now = Xor[u];
    if(f[now]) ans = max(ans, f[now] + deep[u] - 2*d);
    for(int i=0; i<=21; i++) {
        int t = now^(1<<i);
        if(f[t]) ans = max(ans, f[t] + deep[u] - 2*d);
    }

    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne) if(!big[e[i].v]) update(e[i].v, ans, d);
}
void merge(int u) {
    int now = Xor[u];
    f[now] = max(f[now], deep[u]);

    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne) if(!big[e[i].v]) merge(e[i].v);
}
void clear(int u) {
    int now = Xor[u];
    f[now] = 0;

    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne) if(!big[e[i].v]) clear(e[i].v);
}
void dfs(int u, int keep) { //printf("dfs %d %d   mx %d\n",u,keep,mx[u]);
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne) 
        if(e[i].v != mx[u]) dfs(e[i].v, 0), ans[u] = max(ans[u], ans[e[i].v]);
    if(mx[u]) dfs(mx[u], 1), big[mx[u]]=1, ans[u] = max(ans[u], ans[mx[u]]);

    int now = Xor[u], d = deep[u];
    if(f[now]) ans[u] = max(ans[u], f[now] + deep[u] - 2*d);
    for(int i=0; i<=21; i++) {
        int t = now^(1<<i);
        if(f[t]) ans[u] = max(ans[u], f[t] + deep[u] - 2*d);
    }
    f[now] = max(f[now], d);

    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
        if(e[i].v != mx[u]) update(e[i].v, ans[u], deep[u]), merge(e[i].v);

    big[mx[u]]=0;
    if(!keep) clear(u);
}
int main() {
    //freopen("in","r",stdin);
    n=read();
    for(int i=2; i<=n; i++) x=read(), scanf("%s",s), ins(x, i, 1<<(s[0]-'a') );
    dfsXor(1);
    //puts("");for(int i=1; i<=n; i++) printf("Xor %d %d\n",i,Xor[i]);puts("");
    deep[1]=1; dfs(1);
    dfs(1, 0);
    for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",ans[i]);
}