本文探讨了当希尔伯特空间维度为3时，三次张量积、外积及对称张量积的空间维度，并给出了一组正交基底表示下的垂直于外积与对称张量积空间的元素。
If $\dim \scrH=3$, then $\dim \otimes^3\scrH =27$, $\dim \wedge^3\scrH =1$ and $\dim \vee^3\scrH =10$. In terms of an orthonormal basis of $\scrH$, write an element of $(\wedge^3\scrH )\oplus \vee^3\scrH)^\perp$.
Solution. Let $e_1,e_2,e_3$ be an orthonormal basis of $\scrH$, then $$\bex e_1\otimes e_1\otimes e_1-e_1\otimes e_1\otimes e_2\in (\wedge^3\scrH )\oplus \vee^3\scrH)^\perp. \eex$$
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