POJ 3709 K-Anonymous Sequence（单调队列）

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原文链接：http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/archive/2013/04/24/3039981.html

本文解决了一个关于将不下降数列最优分段的问题，通过动态规划的方法并结合双端队列优化状态转移方程，实现了高效的求解策略。

题目链接：http://poj.org/problem?id=3709

题意：给定一个不下降数列，一个K，将数列分成若干段，每段的数字个数不小于K，每段的代价是这段内每个数字减去这段中最小数字之和。求一种分法使得总代价最小？

思路：dp[i]=min(dp[j]+sum[i]-sum[j]-(i-j)*a[j+1])。那么对于两个j1,j2，若j1<j2但是j2比j1更优，那么可得:(dp[j1]-sum[j1]+a[j1+1]*j1)-(dp[j2]-sum[j2]+a[j2+1]*j2)>=i*(a[j1+1]-a[j2+1])，所以每次比较head和head+1两个元素，若head没有head+1好则删掉。我们设dy(j1,j2)=(dp[j1]-sum[j1]+a[j1+1]*j1)-(dp[j2]-sum[j2]+a[j2+1]*j2),dx(j1,j2)=(a[j1+1]-a[j2+1]),那么上面的式子等价于dy(j1,j2)/dx(j1,j2)<=i。其实队列中维护的数字要保持对于某两个相邻元素(x,y)若x比y优，则x必须比y之后的都优。那么我们怎么样做到这一点呢？就是更新队尾。对于队尾的三个元素x,y,z,若dy(x,y)/dx(x,y)>=dy(y,z)/dx(y,z)，此时删掉y。因为若dy(x,y)/dx(x,y)<=i，则dy(y,z)/dx(y,z)<=i，也就是y比x优的时候z就比y优，此时必须删去y。若不删去，后面的i若出现dy(x,y)/dx(x,y)>i时我们认为x比y好，但是dy(y,z)/dx(y,z)和i的关系是不确定的，假如dy(y,z)/dx(y,z)<=i，即z比y优，那么我们怎么知道x和z哪个更优呢？因为y在中间隔开了x和z，x和z不能直接比较。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <map>


#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define abs(x) ((x)>=0?(x):-(x))
#define i64 long long
#define u32 unsigned int
#define u64 unsigned long long
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define CLR(x) x.clear()
#define ph(x) push(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define Len(x) x.length()
#define SZ(x) x.size()
#define PI acos(-1.0)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define MP(x,y) make_pair(x,y)
#define EPS 1e-9

#define FOR0(i,x) for(i=0;i<x;i++)
#define FOR1(i,x) for(i=1;i<=x;i++)
#define FOR(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define FORL0(i,a) for(i=a;i>=0;i--)
#define FORL1(i,a) for(i=a;i>=1;i--)
#define FORL(i,a,b)for(i=a;i>=b;i--)


#define rush() int CC;for(scanf("%d",&CC);CC--;)
#define Rush(n)  while(scanf("%d",&n)!=-1)
using namespace std;


void RD(int &x){scanf("%d",&x);}
void RD(u32 &x){scanf("%u",&x);}
void RD(i64 &x){scanf("%I64d",&x);}
void RD(double &x){scanf("%lf",&x);}
void RD(int &x,int &y){scanf("%d%d",&x,&y);}
void RD(u32 &x,u32 &y){scanf("%u%u",&x,&y);}
void RD(double &x,double &y){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
void RD(int &x,int &y,int &z){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);}
void RD(int &x,int &y,int &z,int &t){scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&z,&t);}
void RD(u32 &x,u32 &y,u32 &z){scanf("%u%u%u",&x,&y,&z);}
void RD(double &x,double &y,double &z){scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&z);}
void RD(char &x){x=getchar();}
void RD(char *s){scanf("%s",s);}
void RD(string &s){cin>>s;}


void PR(int x) {printf("%d\n",x);}
void PR(int x,int y) {printf("%d %d\n",x,y);}
void PR(int x,int y,int z) {printf("%d %d %d\n",x,y,z);}
void PR(i64 x) {printf("%lld\n",x);}
void PR(u32 x) {printf("%u\n",x);}
void PR(double x) {printf("%.5lf\n",x);}
void PR(char x) {printf("%c\n",x);}
void PR(char *x) {printf("%s\n",x);}
void PR(string x) {cout<<x<<endl;}


const int INF=1000000000;
const int N=500005;

int n,k,Q[N],head,tail;
i64 sum[N],dp[N],a[N];

i64 dy(int j1,int j2)
{
	return (dp[j1]-sum[j1]+a[j1+1]*j1)-(dp[j2]-sum[j2]+a[j2+1]*j2);
}

i64 dx(int j1,int j2)
{
	return a[j1+1]-a[j2+1];
}

void DP()
{
	int i,j,x,y,z;

	head=tail=0;
	FOR1(i,n)
	{
		while(head<tail&&dy(Q[head],Q[head+1])>=i*dx(Q[head],Q[head+1])) head++;
		j=Q[head];
		dp[i]=dp[j]+sum[i]-sum[j]-a[j+1]*(i-j);
		if(i-k+1>=k)
		{
			z=i-k+1;
			while(head<tail)
			{
				x=Q[tail-1];
				y=Q[tail];
				if(dy(x,y)*dx(y,z)>=dy(y,z)*dx(x,y)) tail--;
				else break;
			}
			Q[++tail]=z;
		}
	}
	PR(dp[n]);
}

int main()
{
    rush()
    {
        RD(n,k);
        int i;
        FOR1(i,n) RD(a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        DP();
    }
	return 0;
}

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