本文详细探讨了当0<a<b<1时，级数a+b+a²+b²+a³+...的收敛性，通过比较Cauchy收敛判别法和d'Alembert判别法的适用性和局限性，揭示了数学分析中收敛性判断的重要性和不同方法的特性。
如果$0<a<b<1$,则级数$a+b+a^2+b^2+a^3+\cdots$收敛，证明Cauchy收敛判别法对此级数适用，但是d'Alembert 判别法失效.
验证:d'Alembert判别法失效这是因为
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\frac{b^n}{a^n}=\infty
\end{equation}
和
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\frac{a^{n+1}}{b^n}=0
\end{equation}
但是我们可以根据Cauchy判别法，易得对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的足够大的$n$使得
\begin{equation}
a^n+b^n+a^{n+1}+b^{n+1}+\cdots
\end{equation}
小于$\varepsilon$(为什么?)
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