指数函数习题

前言

一、具体过渡过程

• 加法，减法；一级运算；乘除二级运算；乘方开方三级运算；

• 乘方引出幂值，幂值引出方根，再 引出根式，

• 分数指数幂，整数指数幂+分数指数幂\(\Rightarrow\)有理数指数幂，

• 无理数指数幂\(\Rightarrow\)实数指数幂

• 引出\(y=a^x\)，\(x\in R\)，为保证总有意义，限制\(a>0，a\neq 1\)，指数函数。

二、典例剖析：

例1【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】

已知函数\(f(x)=\cfrac{a^x-1}{a^x+1}(a>0且a\neq 1)\)，

(1).求函数的定义域和值域；

分析：容易知道定义域为\(R\)；求值域的方法有两个：

其一利用有界性法；如由\(y=\cfrac{a^x-1}{a^x+1}\)反解得到\(a^x=-\cfrac{y+1}{y-1}\)，

由\(a^x>0\)得到\(-\cfrac{y+1}{y-1}>0\)，解得\(-1<y<1\)；

其二利用函数的单调性法，见下(3)

(2).讨论函数\(f(x)\)的奇偶性；

分析：函数\(f(-x)=f(x)\)，奇函数；

(3).讨论函数\(f(x)\)的单调性。

分析：化为部分方式得到，\(f(x)=1-\cfrac{2}{a^x+1}\)，

容易知道当\(a>1\)时，函数\(f(x)\)单调递增；当\(0<a<1\)时，函数\(f(x)\)单调递减；

补充求值域的单调性法；化为部分方式得到，\(f(x)=1-\cfrac{2}{a^x+1}\)，

当\(a>1\)时，函数\(f(x)\)单调递增，当\(\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1\)，

\(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-1\)，故\(-1<f(x)<1\)；

当\(0<a<1\)时，同样能得到\(-1<f(x)<1\)；

例2【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】若函数\(f(x)=a^x(a>0，a\neq 1)\)在区间\([2，4]\)上的最大值与最小值的差为\(2\)，则实数\(a\)=【】

$A.\cfrac{\sqrt{2}}{2}$ $B.\sqrt{2}$ $C.\cfrac{1}{2}$ $D.2$

分析：分类讨论如下，

当\(a>1\)时，满足\(a^4-a^2=2\)，逐项验证，\(a=\sqrt{2}\)满足；

当\(0<a<1\)时，满足\(a^2-a^4=2\)，逐项验证，无解，

综上所述，选\(B\)。

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