施罗德数

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本文探讨了超级卡特兰数（大施罗德数）的概念及其递推式的证明过程。超级卡特兰数F[n]表示从起点(0,0)到终点(n,n)，仅能向上、向右或向右上方移动且不跨越y=x线的路径方案数量。文章通过类比卡特兰数，详细解析了递推式中每部分的意义。

某次考试考到

 

超级卡特兰数（又称大施罗德数）

意义：F[n]:从（0,0）开始，只能往上往右或者往右上，不能跨过y=x，到达(n,n）的路径方案数

递推式的证明：

类比卡特兰数，后面的是枚举第一次碰到y=x在哪里

还要加上一个F(n-1)的原因是，并没有统计第一次斜着走到(1,1)的情况，之前统计的都是第一次横着走的。

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布尔-施罗德逻辑代数中的公设对应-- 布尔逻辑之六
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### 施罗德分区与施罗德表格：理论与算法探索 #### 1. 引言 在组合数学领域，路径问题一直是研究的热点。以往对迪克路径的研究启发我们去探索其他类型路径的类似性质。本文聚焦于施罗德路径，深入研究施罗德分区和...
catlan数和超级catlan数(施罗德数)
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catlan数 前言 卡特兰数在组合数里很难告诉它是什么？更多的情况是通过大量的例子来告诉你它怎么用。 从0开始catlan数的前几项为： 1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790… 定义 1. 递归定义 fn=f0∗fn−1+f1∗fn−2+f2∗fn−3+.....+fn−2∗f1+fn−1∗f0{f_n=f_0*f_{n-1}+f_1*f_{n-2}+f_2*
[超级码力在线编程大赛初赛(二)] 4.小栖的金字塔 施罗德数(超级卡特兰数)
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【算法讲11：卡特兰数】默慈金数 | 那罗延数 | 施罗德数
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水の三角(超级卡特兰数/大施罗德数)
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关于卡特兰数 卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767...
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小猛同学的博客
05-31 4056
卡特兰数是一个常用在计数情况中使用的一种特殊的数列，其原理如下：一、原理若令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n&gt;=2)（可以写成通式：)例：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h...
施罗德散射体
04-01
### Schroeder Scattering Body 的概念及其在声学建模中的应用 Schroeder scattering body 是一种用于模拟声音传播过程中遇到障碍物或反射表面时的行为的方法。这种方法基于房间声学原理，旨在通过数学模型描述声波在复杂环境下的行为特性[^4]。 #### 1. 施罗德散射体的核心思想 施罗德散射体的概念来源于对混响现象的研究。当声波在一个封闭空间内传播时，它会不断撞击墙壁和其他物体，并逐渐衰减直至消失。这种过程可以通过一系列延迟线和反馈网络来近似模拟。具体来说，施罗德散射体会考虑以下几个因素： - **声波的多次反射**：每次反射都会引入新的路径长度变化以及能量损失。 - **吸收效应**：不同材料具有不同的吸声系数，这直接影响了混响时间和整体音效的质量。 这些物理特性的组合构成了施罗德散射体的基础理论框架。 #### 2. 数学表达与实现 为了更精确地捕捉上述现象，在计算机程序中通常采用如下形式化的表述来进行数值仿真: 设 \( T_{60} \) 表示达到完全静默所需的时间，则可以根据 Sabine 公式估算得到该参数值： \[ T_{60} = -\frac{V}{cS_a}\log(1-\alpha)\] 其中， - \( V \): 房间体积； - \( c \): 声速常数； - \( S_a \): 总表面积乘以其对应的平均吸声率之积； - \( \alpha \): 综合吸声因子。 利用此方程可进一步推导出具体的滤波器结构设计思路，从而构建起完整的 Schröder reverberator 架构。 以下是 Python 实现的一个简单版本的 Schroeder 混响算法代码片段作为参考： ```python import numpy as np def schroeder_reverb(input_signal, room_size=0.7, damping=0.8, wet_level=0.5, dry_level=0.5): buffer_length = int(len(input_signal)*room_size) buffers = [ np.zeros(buffer_length), # All-pass delay line 1 np.zeros(int(buffer_length*0.7)), # Feedback comb filter 1 ... ] output = [] for sample in input_signal: delayed_samples = sum([buffer[i%len(buf)] * gain for buf,gain in zip(buffers,[damping,damping])]) new_sample = sample + delayed_samples outputs.append(new_sample*dry_level+(delayed_samples*wet_level)) # Update all delays here... return np.array(output) # Example usage with dummy data. dummy_data = np.random.rand(44100).astype(np.float32)-0.5 processed_audio = schroeder_reverb(dummy_data) ``` 注意这段伪代码仅展示基本逻辑流程并未优化性能也未包含全部细节部分。 #### 3. 应用场景扩展至图形领域 尽管最初开发是为了音频处理目的服务，但随着跨学科技术融合趋势日益明显，“schroeder-like”机制也被尝试移植到了其他研究范畴比如虚拟现实(VR)/增强现实(AR)体验当中去提升沉浸感效果。例如借助类似的递归运算技巧可以用来描绘光线追踪里的间接光照分布情况或者动态阴影生成等问题解决办法上找到共同点[^1][^2]. ---
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