《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.2 矩阵的逆

本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第2章，第2.2节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看

2.2 矩阵的逆

矩阵代数提供了对矩阵方程进行运算的工具以及许多与普通的实数代数相似的有用公式. 本节研究矩阵中与非零数的倒数（即乘法逆）类似的问题.
实数5的乘法逆是1/5或，它满足方程

矩阵对逆的一般化也要求两个方程同时成立，并避免使用斜线记号表示除法，因为矩阵乘法不是可交换的. 进一步，完全的一般化是可能的，当且仅当有关矩阵是方阵.
一个 mn矩阵 A是可逆的，若存在一个 nn矩阵C 使

这里 是 n*n单位矩阵. 这时称 C是 A的逆阵. 实际上，C 由 A唯一确定，因为若 B是另一个A 的逆阵，那么将有B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C，于是，若A 可逆，它的逆是唯一的，我们将它记为 ，于是
不可逆矩阵有时称为奇异矩阵，而可逆矩阵也称为非奇异矩阵.
例1 若，则

所以 . ?
这里给出2*2矩阵可逆的检验方法，同时给出一个简单的公式给出它的逆矩阵.
定理4 设 ，若 ，则A可逆且

若 ad-bc=0，则A不可逆.
定理4的简单证明见25题与26题. 数ad-bc 称为A的行列式，记为

定理4说明，2*2矩阵A可逆，当且仅当 .
例2 求 的逆.
解 因为 ，所以A可逆且

可逆矩阵在线性代数中是很重要的——主要用在计算和公式推导中，如下定理所示，有时逆矩阵在实际应用中也会出现，如下面例3所示.
定理5 若A是可逆 n*n1矩阵，则对每一 中的 b，方程 有唯一解 .
证 取 中任意一个 b，方程 Ax=b有解，因若以 代 x，有
，所以 是解. 为证明解是唯一的，我们证明若u是一个解，则u必是，事实上，若Au=b ，两边同乘 得

例3 一条水平的弹性梁的两端支柱，在点1，2，3受力作用，如图2-5所示，设 中的f 表示它在这三点受的力，y 为梁在这三点的形变. 利用虎克定律，可以证明

这里D称为弹性矩阵. 它的逆称为刚性矩阵，说明D与 各列的物理意义.

图2-5 弹性梁的形变
解 记 ，有 ，向量 表示1单位力向下作用于点1（其他两点的力为零）， （即D 的第一列）表示在点1处施加1单位力产生的梁的形变. 类似地，可以说明D的第二和第三列.
为研究刚性矩阵，注意到方程 计算形变向量y 给定时的力向量f . 记 ，现解释 为形变向量，于是 给出产生这个形变的力. 因此， 的第一列表示，为了使点1的形变为1单位，其他两点形变为0，所需要作用的力. 类似地， 的第二和第三列分别表示为了在点2和3产生1单位的形变所需要作用的力. 在每一列中，其中一点或两点作用的力必须为负值（指向上），以在指定的点产生单位形变而其他点没有形变. 若弹性用每磅力产生的形变的英寸数衡量，则刚性矩阵的元素是每英寸形变所需力的磅数.
定理5的公式很少用来解方程 ，因为 [A,b]的行变换通常更快（当计算有舍入误差时，行变换也更精确.）一个可能的例外是2*2矩阵. 这时用 的公式进行心算会更容易，如下例所示.
例4 用例2中矩阵A的逆矩阵解方程组

解 该方程组就是 Ax=b，所以

下列定理给出可逆矩阵的三个有用事实.
定理6

1. 若A是可逆矩阵，则 也可逆而且 .
2. 若A和B都是 n*n可逆矩阵，AB也可逆，且其逆是A和B的逆矩阵按相反顺序的乘积，

即

1. 若A可逆，则 也可逆，且其逆是 的转置，即 .
   证 为证明（a），我们需要找矩阵C使

显然A满足这些方程. 因此 可逆且A是它的逆阵. 下一步，为证明（b），我们应用乘法结合律：

类似地，可以证明 ，因此AB是可逆的，且其逆为 . 对于（c），利用定理3（d），公式从右向左，有 . 类似地， . 因此 是可逆的，其逆是 .
定理6（b）的下列推广以后要用到.
若干个n*n 可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积.
在可逆矩阵与矩阵的行变换之间有一种重要的联系，它引出了计算逆矩阵的一种方法，我们将看到，可逆矩阵行等价于单位矩阵，而我们可通过观察A行化简为I这一过程求出 .
初等矩阵
把单位矩阵进行一次行变换，就得到初等矩阵. 下列例子说明三种初等矩阵.
例5 设

计算 ，说明这些乘积可由A进行变换得到.
解 我们有

把A的第1行乘-4加到第3行得 （这是倍加行变换），交换A的第1行与第2行得 ，把A的第3行乘以5得 .
把 3*n矩阵左乘以（即在左边相乘）例5中的 也有相同的结果，即把第1行的-4倍加到第3行. 特别地， ，我们看到， 本身是把单位矩阵以同一行变换作用所得. 于是例5说明了下列关于初等矩阵的一般事实，见习题27和28.
若对 矩阵A进行某种初等行变换，所得矩阵可写成EA，其中E是 m*m矩阵，是由 进行同一行变换所得.
因为行变换是可逆的，如我们在1.1节所示，初等矩阵也是可逆的. 若E是由I进行变换所得，则有同一类型的另一行变换把E变回I. 因此，有初等矩阵F使 . 因E和F对应互逆的变换，所以也有 .
每个初等矩阵E是可逆的，E的逆是一个同类型的初等矩阵，它把E变回I.
例6 求 的逆.
解 为把 变成I，把第1行的4倍加上第3行，这相应于初等矩阵

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下列定理给出了判断矩阵可逆的方法，也给出计算逆矩阵的方法.
定理7 n*n矩阵A是可逆的，当且仅当A行等价于 ，这时，把A变为 的一系列初等行变换同时把 变成 .
证 设A是可逆矩阵，则对任意b ，方程 Ax=b有解（定理5），A在每一行有主元位置（1.4节定理4），因A是方阵，这 n个主元位置必在对角线上. 这就是说A的简化阶梯形是 ，即 .
反之，若 ，因每一步行变换对应于左乘一个初等矩阵，就是说，存在初等矩阵 ,使

即

![screenshot](https://yqfile.alicdn.com/61615dc7b9feee658f9c1008f5386ce8b2f3f503.png)                  （1）

因为 是可逆矩阵的乘积，因此也是可逆矩阵，由（1）式推出

于是 是可逆的，因它是可逆矩阵的逆（定理6），同样有

于是 ，这就是说， 可由依次以 作用于 而得到，它们就是（1）式中把 A变为 的同一行变换序列.
求 的算法
若我们把A和I排在一起构成增广矩阵 [A I]，则对此矩阵进行行变换时，A和I受到同一变换，由定理7，要么有一系列的行变换把A变成I，同时把I变成 ，要么A是不可逆的.

求 的算法
把增广矩阵 [A I]进行行化简. 若A行等价于I，则 [A I]行等价于 ，否则A没有逆.
例7 求矩阵 的逆，假如它存在的话.
解

因为 A~I，由定理7知A可逆，且

最好把答案验证一下：

因A可逆，不必验证 .
逆矩阵的另一个观点
用 表示 的各列. 则把 [A I]行变换成 的过程可看作解n 个方程组.
（2）
其中这些方程组的“增广列”都放在 A的右边，构成矩阵

方程 及矩阵乘法的定义说明 的列正好是方程（2）的解. 这一点是很有用的，因为在某些应用问题中，只需要 的一列或两列. 这时只需要解（2）中的相应方程.
数值计算的注解 在实际中，很少计算 ，除非需要 的元素. 计算 和 总共需要的运算次数大约是用行变换解方程 Ax=b的3倍，而且行变换可能更为精确.
练习题

1. 应用行列式判断以下矩阵是否可逆：
   
2. 求 的逆矩阵，假如它存在.
   习题2.2