51nod_1033_骨牌覆盖V2 状态压缩DP+矩阵快速幂优化

最新推荐文章于 2020-11-30 23:20:34 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/kito/p/7015613.html

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本文介绍了一种使用状态压缩动态规划与矩阵快速幂解决特定覆盖问题的方法。该问题要求计算用1×2的骨牌覆盖n×m矩形的所有可能方案数，其中n的范围较小（2≤n≤5），而m可达10^9。通过状态压缩将每一列可能的状态编码，并利用矩阵快速幂优化转移过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

求用1 * 2的骨牌覆盖n * m的矩形的方案数\(，2\leq n\leq 5,m\leq 10^9\)。

n很小，考虑状压，我们用一个集合s表示某一列中每个格子是否被覆盖，每列有n个格子，所以这样的集合有\(2^n\)种。
定义状态\(F(i,s)\)表示当第i列为s时的方案数。
对于第i列一个确定的状态s，我们可以通过将第i列填满从而到达第i+1列的某个状态。比如：

对于每个s可以用暴搜搜出来s可以转移到什么状态，以及转移到某种状态的方案数。这部分的复杂度是远低于\(O(2^{2n})\)的。

于是我们得到了一个大小为\(2^n*2^n\)的转移矩阵,第i+1列只跟第i列有关，用矩阵快速幂优化即可，复杂度\(O(4^n+2^{3n}*\log m)\)。

code

#include<stdio.h>
typedef long long LL;
const int mod=1000000007;
inline int Mod1(int x){return x>=mod?x-mod:x;}
int m,n,N,ss;
int F[32][32],Q[32][32],T[32],G[32];
void Dfs(int u,int s,int t){
    if(u==n){
        F[ss][t]++;
        return;
    }
    if(s&(1<<u)){
        Dfs(u+1,s,t);
        return;
    }
    t|=(1<<u); s|=(1<<u);
    Dfs(u+1,s,t);
    t^=(1<<u); s^=(1<<u);
    if(u+1<n&&((s&(1<<(u+1)))==0)){
        s|=(1<<u); s|=(1<<(u+1));
        Dfs(u+1,s,t);
        s^=(1<<u); s^=(1<<(u+1));
    }
}
void Init(){
    N=(1<<n);
    for(int s=0;s<N;++s){
        ss=s;
        Dfs(0,s,0);
    }
    T[0]=1;
    while(m){
        if(m&1){
            for(int j=0;j<N;++j){
                int x=0;
                for(int k=0;k<N;++k){
                    x=Mod1(x+(LL)T[k]*F[k][j]%mod);
                }
                G[j]=x;
            }
            for(int j=0;j<N;++j) T[j]=G[j];
        }
        m>>=1;
        for(int i=0;i<N;++i){
            for(int j=0;j<N;++j){
                int x=0;
                for(int k=0;k<N;++k){
                    x=Mod1(x+(LL)F[i][k]*F[k][j]%mod);
                }
                Q[i][j]=x;
            }
        }
        for(int i=0;i<N;++i) for(int j=0;j<N;++j) F[i][j]=Q[i][j];
    }
    printf("%d\n",T[0]);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&m,&n);
    Init();
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/kito/p/7015613.html