利用离散 Fourier 变换解一元二次方程

设二次方程
$$
x^2+bx+c=0
$$
的两个根分别为 $x_1,x_2$.则
$$
(x-x_1)(x-x_2)=x^2+bx+c.
$$
因此
$$
\begin{cases}
  x_1+x_2=-b\\
x_1x_2=c\\
\end{cases}
$$
进行离散 Fourier 变换,即
$$
\begin{pmatrix}
  u_1\\
v_1\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  \omega^{0}&\omega^{1}\\
\omega^{0}&\omega^{2}\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x_1\\
x_2\\
\end{pmatrix}.
$$
其中 $\omega$ 是方程 $x^2=1$ 的不等于1的根,即 $\omega=-1$.于是
$$
\begin{cases}
u_1=x_1-x_2\\
v_1=x_1+x_2\\
\end{cases}
$$
也即
$$
\begin{cases}
x_1=\frac{1}{2}(u_1+v_1)\\
x_2=\frac{1}{2}(v_1-u_1)\\
\end{cases}.
$$
于是
$$
\begin{cases}
v_1=-b\\
\frac{1}{4}(v_1^2-u_1^2)=c.
\end{cases}
$$
解得
$$
\begin{cases}
  v_1=-b\\
u_1=\pm\sqrt{b^2-4c}
\end{cases}
$$
然后容易得出 $x_1,x_2$ 的值.

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