离散数学与计算机选择题,《离散数学》期终试题计算机系.doc

《离散数学》期终试题计算机系

《离散数学》期终试题

南京大学计算机系 2002年7月

共10题，每题10分。

1. 设A, B, C为任意集合，证明

1.1 A(B=A(B ( A=B

证明：( 对任意x, 若x(A, 则x(A(B=A(B, (x(B, (A(B; 同理可得: B(A, (A=B。

( 显然。

1.2 (A-B)((A-C)=( ( A((B(C)

证明: ( 若A是空集，结论成立。

若A非空，任取x(A, 假设x(B(C, 则A-B=A-C=A((，与前提矛盾，(x(B(C, (A((B(C)

( 假设(A-B)((A-C)((, 任取x((A-B)((A-C), 则：x(A, 但x(B且x(C, (x((B(C), 这与A((B(C)矛盾。((A-B)((A-C)= (。

2. 设R(A(B, S(B(C, T(B(C

2.1 证明(R(S)-(R(T) ( R((S-T)

证明：任给(a,c), 若a(A, c(C, 且(a,c)((R(S)-(R(T), 则(a,c)(R(S, 但(a,c)(R(T, 即存在b(B, 满足：(a,b)(R, (b,c)(S, 但(b,c)(T, 于是(b,c)(S-T, ((a,c)(R((S-T), ((R(S)-(R(T) ( R((S-T)

2.2 举例说明上式反包含关系不成立

证明：寻找反例的线索：如果试图证明R((S-T)((R(S)-(R(T), (a,b)(R, (b,c)(S, 但(b,c)(T并不能保证(a,c)(R(T, 因为可能存在另一个b’(B, 满足(a,b’)(R, (b’,c)(T。

反例：A={a}, B={b,b’}, C={c}, R={(a,b), (a,b’)}, S={(b,c), (b’,c)}, T={(b’c)}, 则(a,c)(R((S-T), 但(a,c)((R(S)-(R(T)。

3. 设A为有穷集合，f为从A到A的映射

3.1 证明f为单射(1-1) ( f为满射(onto)

证明：设|A|=n，f(A)={y|存在x(A, 使得f(x)=y}

( 假设f非满射，则存在x(A, x不是f下任何元素的象，即|f(A)|

( 假设f非单射，则存在x,y(A, 满足x(y, 但f(x)=f(y), 则|f(A)|

解：({0},+8), ({0,4},+8), ({0,2,4,6},+8), (Z8,+8), 共有4个子群。

5. 设H, K为群G的正规子群，且H(K={e}, 其中e是G的单位元素，证明当h(H且k(K时hk=kh。

证明: 对任意h(H, k(K, 因为K是正规子群, (hk(hK=Kh, 即有k’(K, 使得hk=k’h, (hkh-1=k’(K, 而k-1(K, (hkh-1k-1(K。

类似地，因为H是正规子群，且h-1(H，kh-1(kH=Hk, 即有h’(H, 使得kh-1=h’k, (kh-1k-1=h’(H, (hkh-1k-1(H。

( hkh-1k-1(H(K, 由已知，hkh-1k-1=e, 而hkh-1k-1= hk(kh)-1, 于是群元素hk与(kh)-1互为逆元素，由群元素逆元的唯一性可知hk=kh。

6. 设H为G的子群，证明对任何a,b(G, Ha=Hb ( ba-1(H

证明：( 对任意的h(H, ha(Ha=Hb, (存在h’(H, 使得ha=h’b, (ba-1=h’-1h(H

( 任给x(Ha, 令x=ha (h(H), 则xa-1=h(H, 而对任意b(G, xa-1=xb-1ba-1(H, 由已知ba-1(H, (xb-1=h(ba-1)-1(H, (x(Hb, (Ha(Hb。

任给x(Hb, 令x=hb (h(H), 即xb-1(H; 对任意a(G, 由已知，ba-1(H, 则xb-1(ba-1)(H, (xa-1(H, 即x(Ha, (Hb(Ha。

(Ha=Hb。

7. 设G是简单图，e为G的边数，v为G的点数，证明：如果e>(v2-3v+2)/2, 则G连通。

证明：假设G至少有两个连通分支，其中一个含v’个顶点(0

v’(v’-1)/2+(v-v’)(v-v’-1)/2 = (v’-v/2)2 +(v2/4-v/2)

显然，当v’取值1或者(v-1)时，上式达到其最大值(v2-3v+2)/2, (e((v2-3v+2)/2, 这与已知条件矛盾。(G是连通图。

8. 证明每个3-正则图都有偶数个顶点，并画出两个互不同构的有6个顶点的3-正则图。

证明：图顶点度数总和均为偶数，任给3-正则图G，设其