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任意角的正弦函数、余弦函数的定义

阜阳市第十中学

§4.1

任意角的正弦函数、余弦函数的定义

[学习目标]

1.掌握任意角的正弦、余弦的定义.2.掌握正弦、余弦这两种函数值在各象限的符号.3.能利用任意角的正弦函数、余弦函数的定义进行简单的推理证明．

[知识链接]

在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图，在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦，余弦，正切分别是什么？

答

锐角A的正弦函数、余弦函数依次为：

absin A＝c

cos A＝c

[预习导引]

1．单位圆的定义

在直角坐标系中，以原点为圆心，以一个单位长度为半径的圆，称为单位圆．

2．任意角正弦函数、余弦函数的定义

一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin α；点P

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的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α. 通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y＝sin x和y＝cos x．它们的定义域为全体实数，值域为[－1,1]．

3．正弦、余弦函数值在各象限的符号

要点一

三角函数定义的应用

例1：已知角α终边上有一点P(3,4)求sin

α

解：在角为α

的终边上找一点P(-3,4)。

所以可得

和cosα的值。

r=|op|=

=5

因此可得sin

α =

;

cosα =

规律方法

利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．

变式：已知角α的终边上一点P(-3b，4b)，且b≠0求sin

α

- 2 - 和

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cosα

的值．

解(1)：如上图

当b＞0时，在角为α的终边上找一点P(-3b，4b)。

所以可得

r=|op|=

=5b

因此可得sin

α

=

; cosα =

解(2)：如上图

当b＜0时，在角为α的终边上找一点P(-3b，4b)。

所以可得

r=|op|=

- 3 - =5b 因此

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可得sin

α

=

;

要点二

三角函数值符号的判断

例2：已知sin α＞0，cos α＜0 则α在第 象限。

解析：由上图所示可知，α处在第二象限。

规律方法

准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键.

例3、在直角坐标系的单位圆中4

(1)画出角

(2)求出角α终边与单位圆的交点坐标.

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规律方法

准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键. 当堂训练：

1、

已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ求sinθ的值.

2、

已知角α的终边在直线y＝ 求sin α，cos α3

x 上，

的值.

1.任意角三角函数的定义

①三角函数的值与终边无关;②三角函数与单位圆的关系. 2. 任意角的三角函数在不同象限的正负判断

①正弦在第一、二象限为正;②余弦在第一、四象限为正. 3. 任意角的三角函数线,做三角函数线的步骤 .

10= 10x ，

作业：习题1-4

A组1至4

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教学反思：任意角的正弦,余弦函数的定义”是高中数学北师大版第一章第4节第一课时.三角函数是高中数学的重点,也是高考的重点,不仅与平面向量、解析几何等内容联系紧密，还与物理学有重要的联系。因此,学好三角函数非常重要,而要想学好并且理解三角函数,就要从定义开始.在此之前学生已学习了函数的基本性质,角概念的推广,弧度制等知识,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用,后面紧接着要研究正弦函数、余弦函数的性质,那是肯定离不开定义的,所以这一节起到了承上启下的作用.

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