计算机科学计算矩阵答案,计算机科学计算答案第二章矩阵变换和计算.doc

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1 第二章 矩阵变换和计算 一、内容提要 本章以矩阵的各种分解变换为主要内容，介绍数值线性代数中的两个基本问题：线性 方程组的求解和特征系统的计算，属于算法中的直接法。基本思想为将计算复杂的一般矩 阵分解为较容易计算的三角形矩阵. 要求掌握 Gauss(列主元)消去法、矩阵的(带列主元 的) 分解、平方根法、追赶法、条件数与误差分析、QR 分解、Shur 分解、Jordan 分 LU 解和奇异值分解. (一) 矩阵的三角分解及其应用 1．矩阵的三角分解及其应用 考虑一个 阶线性方程组 的求解，当系数矩阵具有如下三种特殊形状：对角矩 n b Ax  阵 ，下三角矩阵 和上三角矩阵 ，这时方程的求解将会变得简单. D L U , , .                n d d d D  2 1                nn n n l l l l l l L     2 1 22 21 11                nn n n u u u u u u U     2 22 1 21 11 对于 ，可得解为 , . b Dx  i i i d b x /  n i , , 2 , 1   对于 ，可得解为 , , . b Lx  11 1 1 / l b x  ii i k k ik i i l x l b x / ) ( 1 1      n i , , 3 , 2   对于 ，可得解为 , , . b Ux  nn n n l b x /  ii n i k k ik i i l x l b x / ) ( 1      1 , , 2 , 1     n n i 虽然对角矩阵的计算最为简单，但是过于特殊，任意非奇异矩阵并不都能对角化，因 此较为普适的方法是对矩阵进行三角分解. 1) ．Gauss 消去法 只通过一系列的初等行变换将增广矩阵 化成上三角矩阵 ，然后通过回代 ) | ( b A ) | ( c U 求与 同解的上三角方程组 的解．其中第 步消元过程中，在第 步得到 b Ax  c Ux  k 1  k 的矩阵 的主对角元素 称为主元.从 的第 j 行减去第 k 行的倍数 ) 1 (  k A ) 1 (  k kk a ) 1 (  k A ( )称为行乘数(子). ) 1 ( ) 1 (    k kk k jk jk a a l n j k   2) ．矩阵 的 分解 A LU 对于 n阶方阵 ，如果存在 n阶单位下三角矩阵 和 n阶上三角矩阵 ，使得 , A L U LU A  则称其为矩阵 的 分解，也称为 Doolittle 分解．Gauss 消去法对应的矩阵形式即为 A LU 分解, 其中 为所有行乘子组成的单位下三角矩阵, 为 Gauss 消去法结束后得到的 LU L U2 上三角矩阵. 原方程组 分解为两个三角形方程组 . b Ax       y Ux b Ly 3) ．矩阵 分解的的存在和唯一性 LU 如果 阶矩阵 的各阶顺序主子式 均不为零, 则必有单位下三角矩 n A ) , , 2 , 1 ( n k k   D 阵 和上三角矩阵 ，使得 , 而且 和 是唯一存在的． L U LU A  L U 4) ．Gauss 列主元消去法 矩阵每一列主对角元以下(含主对角元)的元素中, 绝对值最大的数称为列主元. 为避 免小主元作除数、或 作分母，在消元过程中，每一步都按列选主元的 Guass 消去法称为 0 Gauss 列主元消去法．由于选取列主元使得每一个行乘子均为模不超过 1的数，因此它避 免了出现大的行乘子而引起的有效数字的损失. 5) ．带列主元的 分解 LU Gauss 列主元消去法对应的矩阵形式即为带列主元的 分解,选主元的过程即为矩阵的行 LU 置换. 因此, 对任意 阶矩阵 ，均存在置换矩阵 、单位下三角矩阵 和上三角矩阵 ， n A P L U 使得 ．由于选列主元的方式不唯一, 因此置换矩阵 也是不唯一的. 原方程组 LU PA  P 两边同时乘以矩阵 得到 , 再分解为两个三角形方程组 . b Ax  P Pb PAx       y Ux Pb Ly 5) ．平方根法(对称矩阵的 Cholesky 分解) 对任意 阶对称正定矩阵 ，均存在下三角矩阵 使 ，称其为对称正定矩阵 n A L T LL A  A 的 Cholesky 分解. 进一步地, 如果规定 的对角元为正数，则 是唯一确定的．原方程 L L 组 分解为两个三角形方程组 . b Ax       y x L b Ly T 利用矩阵乘法规则和 的下三角结构可得 L , , i=j+1, j+2,…,n, j=1,2,…,n. 2 1 1 1 2              j k jk jj jj l a l jj j k jk ik ij ij l l l a l / 1 1              计算次序为 ．由于 ，k=1,2,…,j．因此在分解 nn n n l l l l l l l , , , , , , , , , 2 32 22 1 21 11    jj jk a l  过程中 的元素的数量级不会增长，故平方根法通常是数值稳定的，不必选主元． L 6) ．求解三对角矩阵的追赶法 对于三对角矩阵 , 它的 分解可以得到两个只有两条对                     n n n n n b a c b a c b a c b 1 1 1 2 2 2 1 1    A LU 角元素非零的三角形矩阵3 .                                     n n n n u d u d u d u l l l 1 1 2 2 1 1 3 2 , 1 1 1 1     U L 其中                   n i c l b u n i u a l b u n i c d i i i i i i i i i , , 3 , 2 , , , 3 , 2 , / 1 , , 2 , 1 , 1 1 1 1    计算次序是 . 原方程组 分解为两个三 n n u l u l u l u         3 3 2 2 1 b Ax  角形方程组 . 计算公式为      y Ux b Ly , n i y l b y b y i i i i , , 3 , 2 , , 1 1 1      . 1 , , 2 , 1 , / ) ( , / 1         n n i u x c y x u y x