共1课时
2.2.1 向量加法运算及其几… 高中数学 人教A版2003课标版 1教学目标
1.能描述出向量加法的物理意义及其几何意义，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．
2.学习向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算 2重点难点
能熟练地运用三角形法则和平行四边形法则进行两个向量的加法运算 3教学过程 3.1第一学时教学活动 活动1【导入】平面向量的加法运算
教学内容及程序设计
一、导入：
二、探究学习
探究点一 向量加法的三角形法则
思考1 使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？
答 先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量．
→
(
OA
)
＋→
(
AB
)
＝→
(
OB
)
思考2 当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？
答 (1)当a与b同向时： (2)当a与b反向时：
→
(
OB
)
＝→
(
OA
)
＋→
(
AB
)
＝a＋b. →
(
OA
)
＝a，→
(
AB
)
＝b，→
(
OB
)
＝→
(
OA
)
＋→
(
AB
)
＝a＋b.
思考3 |a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？
答 当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|
探究点二 向量加法的平行四边形法则
思考1 向量加法还可以用平行四边形法则，其具体做法是什么？
答 先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．
以点A为起点作向量→
(
AB
)
＝a，→
(
AD
)
＝b，以AB、AD为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线→
(
AC
)
就是a与b的和，记作a＋b＝→
(
AC
)
．
对于零向量与任一向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.
思考2 实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a.那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？
答 向量的加法满足交换律， 根据下图中的平行四边形ABCD验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.(注：→
(
AB
)
＝a，→
(
AD
)
＝b)．
∵→
(
AC
)
＝→
(
AB
)
＋→
(
BC
)
，∴→
(
AC
)
＝a＋b. ∵→
(
AC
)
＝→
(
AD
)
＋→
(
DC
)
，∴→
(
AC
)
＝b＋a. ∴a＋b＝b＋a.
思考3 实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？
答 向量的加法也满足结合律，根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
∵→
(
AD
)
＝→
(
AC
)
＋→
(
CD
)
＝(→
(
AB
)
＋→
(
BC
)
)＋→
(
CD
)
， ∴→
(
AD
)
＝(a＋b)＋c，
又∵→
(
AD
)
＝→
(
AB
)
＋→
(
BD
)
＝→
(
AB
)
＋(→
(
BC
)
＋→
(
CD
)
)， ∴→
(
AD
)
＝a＋(b＋c)， ∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
例1 如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
解 在平面内任取一点O(如下图)，作→
(
OA
)
＝a，→
(
OB
)
＝b，以OA、OB为邻边做▱OACB，连接OC，则→
(
OC
)
＝→
(
OA
)
＋→
(
OB
)
＝a＋b.
跟踪训练1 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)→
(
AB
)
＋→
(
AD
)
＝________； (2)→
(
AC
)
＋→
(
CD
)
＋→
(
DO
)
＝________；
(3)→
(
AB
)
＋→
(
AD
)
＋→
(
CD
)
＝________； (4)→
(
AC
)
＋→
(
BA
)
＋→
(
DA
)
＝________.
探究点三 向量加法的多边形法则
向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和
向量．
例如，在正六边形ABCDEF中，→
(
AC
)
＋→
(
BD
)
＋→
(
CE
)
＋→
(
DF
)
＋→
(
EA
)
＋→
(
FB
)
＝________.
解析 →
(
AC
)
＋→
(
BD
)
＋→
(
CE
)
＋→
(
DF
)
＋→
(
EA
)
＋→
(
FB
)
＝(→
(
AB
)
＋→
(
BC
)
)＋(→
(
BC
)
＋→
(
CD
)
)＋(→
(
CD
)
＋→
(
DE
)
)＋(→
(
DE
)
＋→
(
EF
)
)＋(→
(
EF
)
＋→
(
FA
)
)＋(→
(
FA
)
＋→
(
AB
)
)
＝(→
(
AB
)
＋→
(
BC
)
＋→
(
CD
)
＋→
(
DE
)
＋→
(
EF
)
＋→
(
FA
)
)＋(→
(
BC
)
＋→
(
CD
)
＋→
(
DE
)
＋→
(
EF
)
＋→
(
FA
)
＋→
(
AB
)
)＝0＋0＝0.
例 化简：(1)→
(
BC
)
＋→
(
AB
)
； (2)→
(
DB
)
＋→
(
CD
)
＋→
(
BC
)
； (3)→
(
AB
)
＋→
(
DF
)
＋→
(
CD
)
＋→
(
BC
)
＋→
(
FA
)
.
跟踪训练2 化简：(1)→
(
AB
)
＋→
(
CD
)
＋→
(
BC
)
. (2)(→
(
MA
)
＋→
(
BN
)
)＋(→
(
AC
)
＋→
(
CB
)
)． (3)→
(
AB
)
＋(→
(
BD
)
＋→
(
CA
)
)＋→
(
DC
)
.
课堂小结：
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．
四、练习：课本P5练习T1-5 《步步高》P5页当堂测1-4
五、作业：课本P9 习题A组 第1、3题 《40分钟课时练习》 P99 T1 -7
2.2.1 向量加法运算及其几何意义 课时设计 课堂实录
2.2.1 向量加法运算及其几何意义 1第一学时 教学活动 活动1【导入】平面向量的加法运算
教学内容及程序设计
一、导入：
二、探究学习
探究点一 向量加法的三角形法则
思考1 使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？
答 先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量．
→
(
OA
)
＋→
(
AB
)
＝→
(
OB
)
思考2 当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？
答 (1)当a与b同向时： (2)当a与b反向时：
→
(
OB
)
＝→
(
OA
)
＋→
(
AB
)
＝a＋b. →
(
OA
)
＝a，→
(
AB
)
＝b，→
(
OB
)
＝→
(
OA
)
＋→
(
AB
)
＝a＋b.
思考3 |a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？
答 当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|
探究点二 向量加法的平行四边形法则
思考1 向量加法还可以用平行四边形法则，其具体做法是什么？
答 先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．
以点A为起点作向量→
(
AB
)
＝a，→
(
AD
)
＝b，以AB、AD为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线→
(
AC
)
就是a与b的和，记作a＋b＝→
(
AC
)
．
对于零向量与任一向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.
思考2 实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a.那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？
答 向量的加法满足交换律， 根据下图中的平行四边形ABCD验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.(注：→
(
AB
)
＝a，→
(
AD
)
＝b)．
∵→
(
AC
)
＝→
(
AB
)
＋→
(
BC
)
，∴→
(
AC
)
＝a＋b. ∵→
(
AC
)
＝→
(
AD
)
＋→
(
DC
)
，∴→
(
AC
)
＝b＋a. ∴a＋b＝b＋a.
思考3 实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？
答 向量的加法也满足结合律，根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
∵→
(
AD
)
＝→
(
AC
)
＋→
(
CD
)
＝(→
(
AB
)
＋→
(
BC
)
)＋→
(
CD
)
， ∴→
(
AD
)
＝(a＋b)＋c，
又∵→
(
AD
)
＝→
(
AB
)
＋→
(
BD
)
＝→
(
AB
)
＋(→
(
BC
)
＋→
(
CD
)
)， ∴→
(
AD
)
＝a＋(b＋c)， ∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
例1 如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
解 在平面内任取一点O(如下图)，作→
(
OA
)
＝a，→
(
OB
)
＝b，以OA、OB为邻边做▱OACB，连接OC，则→
(
OC
)
＝→
(
OA
)
＋→
(
OB
)
＝a＋b.
跟踪训练1 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)→
(
AB
)
＋→
(
AD
)
＝________； (2)→
(
AC
)
＋→
(
CD
)
＋→
(
DO
)
＝________；
(3)→
(
AB
)
＋→
(
AD
)
＋→
(
CD
)
＝________； (4)→
(
AC
)
＋→
(
BA
)
＋→
(
DA
)
＝________.
探究点三 向量加法的多边形法则
向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和
向量．
例如，在正六边形ABCDEF中，→
(
AC
)
＋→
(
BD
)
＋→
(
CE
)
＋→
(
DF
)
＋→
(
EA
)
＋→
(
FB
)
＝________.
解析 →
(
AC
)
＋→
(
BD
)
＋→
(
CE
)
＋→
(
DF
)
＋→
(
EA
)
＋→
(
FB
)
＝(→
(
AB
)
＋→
(
BC
)
)＋(→
(
BC
)
＋→
(
CD
)
)＋(→
(
CD
)
＋→
(
DE
)
)＋(→
(
DE
)
＋→
(
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)
)＋(→
(
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)
＋→
(
FA
)
)＋(→
(
FA
)
＋→
(
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)
)
＝(→
(
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)
＋→
(
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)
＋→
(
CD
)
＋→
(
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)
＋→
(
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＋→
(
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)
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)
＋→
(
CD
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＋→
(
DE
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＋→
(
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)
＋→
(
FA
)
＋→
(
AB
)
)＝0＋0＝0.
例 化简：(1)→
(
BC
)
＋→
(
AB
)
； (2)→
(
DB
)
＋→
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CD
)
＋→
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BC
)
； (3)→
(
AB
)
＋→
(
DF
)
＋→
(
CD
)
＋→
(
BC
)
＋→
(
FA
)
.
跟踪训练2 化简：(1)→
(
AB
)
＋→
(
CD
)
＋→
(
BC
)
. (2)(→
(
MA
)
＋→
(
BN
)
)＋(→
(
AC
)
＋→
(
CB
)
)． (3)→
(
AB
)
＋(→
(
BD
)
＋→
(
CA
)
)＋→
(
DC
)
.
课堂小结：
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．
四、练习：课本P5练习T1-5 《步步高》P5页当堂测1-4
五、作业：课本P9 习题A组 第1、3题 《40分钟课时练习》 P99 T1 -7
Tags：2.2.1,向量,加法,运算,及其
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