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北京邮电大学数字信号处理习题答案第5章

FIR数字滤波器设计

本章知识点：

对于一个离散时间系统,若分母多项式中系数，则此系统就变成一个FIR系统，其中系数即为该系统的单位取样响应h ( 0 ) , h ( 1 ) ,… h ( N-1 ),且当n > N-1时，h ( n ) = 0。

FIR系统函数H(z) 在Z平面上有N-1个零点，在原点z=0处有N-1个重极点。这类系统不容易取得较好的通带和阻带特性，要想得到与IIR系统类似的衰减特性，则要求较高的H(z)阶次。

相比于IIR系统来说，FIR系统主要有三大突出优点：1)系统永远稳定；2)易于实现线性相位系统；3)易于实现多通带(或多组带)系统。

线性相位FIR滤波器实现的充要条件是：对于任意给定的数值N(奇数或偶数)，冲激响应h[n] 相对其中心轴必须成偶对称或奇对称，此时滤波器的相位特性是线性的，且群延时均为常数 。由于h(n) 有奇对称和偶对称两种情况，h(n)的点数N有奇数、偶数之分。因此，h(n)可以有4种不同的类型，分别对应于4种线性相位FIR数字滤波器：h[n] 偶对称N为奇数、h[n] 偶对称N为偶数、h[n] 奇对称N为奇数、h[n] 奇对称N为偶数。四种线性相位FIR滤波器的特性归纳对比于表5.１中。

表5.1 线性相位FIR滤波器特性

偶对称 h (n) = h ( N-1-n )奇对称 h(n) = - h (N-1-n)

相位函数

相N为奇数

n=1, 2, …, (N-1)/2

相N为偶数

b(n)=，n=1, 2, …N/2

n=1, 2, …, N/2

一．FIR DF设计方法

FIR DF的设计实现不能像IIR DF设计那样借助于模拟滤波器的设计方法来实现，其设计方法主要是建立在对理想滤波器频率特性进行不同程度逼近的基础上，主要的逼近方法有三种：窗函数法；频率抽样法；最佳一致逼近法。

窗函数法

窗函数法是设计FIR滤波器的最直接方法，它通过采用不同时宽的窗函数，对理想滤波器的无限长冲激响应hd(n)进行截短，从而得到系统的有限长冲激响应 h (n)，这一过程可用式5－1来描述：

(5.1)

其中WR(n)是时宽为N的窗函数。

由分析可知，加窗处理使所得滤波器的频响与理想滤波器频响之间产生差异，具体表现在过渡带和波动的出现。我们希望所设计的滤波器尽量逼近理想滤波器，就要设法减小波动的幅值，同时使过渡带变窄。因此为了改善滤波器的性能，要求窗函数尽量具有以下特性：

主瓣宽度尽可能地窄，以获得尽量陡的过渡带。

最大旁瓣相对于主瓣尽可能地小，即能量尽可能集中于主瓣内，以使肩峰和波动减小。

对于窗函数，以上两个要求是相互矛盾的，不可能同时达到最佳，要根据需要进行折衷的选择，通常是以增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。下面是几种常用的窗函数及其频谱特性：

矩形窗

(5.2)

(5.3)

三角窗(或巴特利特 Bartlett 窗)

(5.4)

(5.5)

汉宁(Hanning)窗 —— 升余弦窗

(5.6)

(5.7)

汉明(Hamming)窗 —— 改进的升余弦窗

(5.8)

(5.9)

布莱克曼(Blackman)窗——又称二阶升余弦窗

(5.10)

(5.11)

凯瑟(Kaiser)窗

(5.12)

表5.2列出了以上各窗函数的综合性能指标。表5.3给出了不同β值下的凯瑟窗性能总结。

表 5.2 常用窗函数的性能指标

窗函数旁瓣峰值

衰减(dB)窗函数

主瓣宽度加窗后滤波器过渡带宽(△ω)加窗后滤波器阻带

最小衰减(dB)矩形窗-134π/N1.8π/N-21汉宁窗(升余弦窗)-318π/N6.2π/N-44汉明窗(改进升余弦窗)-418π/N6.6π/N-53布莱克曼窗(二阶升余弦窗)-5712π/N11π/N-74凯塞窗(β=7.865)-5710π/N10π