【BZOJ 3514】Codechef MARCH14 GERALD07 加强版-优快云博客

本文介绍了一种使用LCT（Link-Cut Tree）和贪心算法解决动态图中连通性问题的方法。针对n个点m条边的无向图，在k次询问中保留指定范围内的边，计算图中连通块的数量。通过构建动态MST并维护每条边的状态，结合主席树进行查询，实现了在线解答。

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题意

　　\(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，\(k\) 次询问保留图中编号在 \([l,r]\) 的边的时候图中的联通块个数。强制在线。
　　\(n,m,k\le 2\times 10^5\)

题解

　　LCT 练习题，和这题有得一比
　　对于一组询问 \(l,r\)，考虑每一条编号在 \([l,r]\) 的编号为 \(i\) 的边 \((u,v)\) 什么时候会造成贡献：不加在 \([1,l-1]\) 的边，从小到大加入编号在 \([l,i-1]\) 的边，\(u\) 和 \(v\) 在两个不同的连通块中。
　　那怎么判断加入这条边前， \(u,v\) 是否在两个不同的连通块中？考虑先不删编号在 \([1,l-1]\) 的边，找一条 \(u,v\) 两点间编号最小的边的编号最大的路径，若这条路径上编号最小的边的编号\(\ge l\)，则 \(u,v\) 在同一连通块中，否则在不同连通块中。
　　问题就在于如何求这条路径，当然我们只需要这条路径上编号最小的边的编号。
　　这个可以用经典的贪心 + LCT。用一棵 LCT 维护动态 MST，按编号从小到大依次把边加入 LCT，若加边前两端已经连通，则取这两点在 MST 上的路径上编号最小的一条边，把它删掉换成现在加入的这条边即可。记录一下这条边换掉的边的编号 \(lst_i\)。若加边前两端不连通，则换掉的边的编号记为 \(0\)。
　　这样就求出了每条边在加入前，其两端 \(u,v\) 是否在不同的连通块中。
　　若加入一条边前，其两端点 \(u,v\) 不在同一连通块中，则加入这条边后连通块数 \(-1\)。
　　则询问的答案就是 \(n - \sum\limits_{i=l}^r [lst_i<l]\)，主席树维护即可。

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