扩展欧几里得算法

　　扩展欧几里得挺早就会了，但是当时不会证明，现在可以自己推导出来了，下面说一下推导过程。

　　首先给你a,b,让你求出一组x,y,满足ax+by=gcd(a,b).这个gcd是很轻松可以得到的，但是x和y呢？其实我们也可以在求gcd的时候顺便得到一组解。

　　先看看我们是怎么求gcd的:

　　设ans=gcd(b,a%b)。那么最后一步终止条件是什么呢？是b=0。

　　从这里我们可以发现此时，ans*x+0*y=ans，这个时候我们可以看出x和y分别是1和0时肯定满足条件。

　　此时我们就得到了终止条件时候的x和y的值了。但是，每一次相邻的x和y有没有什么关系呢？答案是有的。

　　我们令c=gcd(a,b)

　　第一步有 ax₁+by₁=c

　　下一步就有 bx₂+(a%b)y₂=c, 我们对这一步的公式进行变形。

　　首先可以发现a%b=a-(a/b)*b, 我们带入就得到bx₂+(a-(a/b)*b)y₂=c

　　移项合并后就有ay₂+b[x₂-(a/b)*y₂]=c

　　因此，我们发现其实x₁=y₂,y₁=x₂-(a/b)*y₂, 依靠这种上下步之间的关系，我们就可以得到最外层的一组解了。

 

int e_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return ans;
}

 　　我们还可以发现当ax+by=n而gcd(a,b)=d时，我们也可以得到一组解，方法是得到x后, x*(n/d)就可以了，还是很方便的。

 

　　当然，我们还要知道怎么得到所有解。这个很容易就可以推导，我直接给出公式: 令A=a/gcd(a,b), B=b/gcd(a,b), 一组解为x₀,y₀, 则所有解为x=x₀+B*t, y=y₀-A*t, t为任意整数。

 

　　除此之外，还有一个名叫乘法逆元的东西，其实就是用到扩展欧几里得。ax≡1(mod b) 称x为a关于b的乘法逆元，其实就是求ax+by=1的解。

　　为什么叫乘法逆元呢？因为a*x同余1，类比数学上的其他许多逆的定义，a与x显然互为逆。

　　最后补充个定理：

　　　　1. 如果gcd(a,b)=1,则ax≡c(mod b)有唯一解。

　　求解很显然，有了上面的知识后，我们发现，逆元只有一个或者没有，扩展欧几里得做一次就可以了。

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