POJ 3709 K-Anonymous Sequence

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原文链接：http://www.cnblogs.com/staginner/archive/2012/03/11/2390499.html

本文深入探讨了斜率优化动态规划方法，特别是结合单调队列的应用。通过具体实例讲解如何维护队列，确保队首元素始终是最优选择，为读者提供了一种高效解决特定类型DP问题的新视角。

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POJ_3709

这个是我第一次做斜率优化的题目，下面的题解没有涉及基本的思路，只是谈了一些自己的感悟。

个人感觉斜率优化+单调队列最重要的就是维护了一个队列，且对于队首连续的3个元素x,y,z(x<y<z)，在任意时刻都不会出现x比y优同时z比x和y都优的情况，下面证明一下为什么有这个特性。

由于斜率优化+单调队列维护队尾的时候，对于队尾出连续的3个元素i,j,k(i<j<k)，如果任意时刻j都不会比i和k更优，那么就会直接把y丢掉。所以，如果此时y在队列中，那么y就一定在某个时刻（也许这个时刻并不会是整数）比x和z更优。同时，过了这个时刻之后，y一定会比x优（这一点能根据不等式推导出来）。根据上面说的几点，既然现在y在队列中，并且x比y优，那么只能说明y比x和z更优的时刻尚未到达，而假如现在z又比y更优的话，类似上面的推导就又能推出y比x和z更优的时刻已经过去了，这时就有矛盾了。

进一步讲，如果队首有两个连续的元素x,y(x<y)，且x比y优，那么此时如果队列中有一个元素z比x和y都优的话，也是可以推出矛盾的。

有了这个特性以后，我们就可以知道，如果队首有两个连续的元素x,y(x<y)，且x比y优，那么队列中所有其他元素都没有x优。这样就太happy啦，因为我们每次进行更新的时候，只要不断地移动队首的位置直到队首的x比下一个元素y更优就停止即可，这时的x一定是最优的。

当然，如果证明得再严谨一点，还要说明已经从队首出队的点一定不会比当前的点更优，但这个是比较容易证明的。

此外，这个题目中f[1],f[2],…,f[K-1]这些值是没有任何意义的，因此，我们要么先初始化成INF，要么就干脆不要让这些元素入队，也就是说从K才开始入队操作，当然这样需要首事先把0入队。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXD 500010
int N, K, a[MAXD], q[MAXD];
long long int A[MAXD], f[MAXD];
void init()
{
int i, j, k;
    A[0] = 0;
    scanf("%d%d", &N, &K);
for(i = 1; i <= N; i ++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        A[i] = A[i - 1] + a[i];
    }
}
long long int getf(int i)
{
return f[i] - A[i] + (long long int)i * a[i + 1];
}
void solve()
{
int i, j, k, front, rear, x, y, z;
    front = rear = 0;
    q[rear ++] = 0;
    f[0] = 0;
for(i = 1; i <= N; i ++)
    {
while(front < rear - 1)
        {
            j = q[front], k = q[front + 1];
if((long long int)i * (a[k + 1] - a[j + 1]) < getf(k) - getf(j))
break;
            ++ front;
        }
        j = q[front];
        f[i] = getf(j) + A[i] - (long long int)i * a[j + 1];
if(i + 1 - K >= K)
        {
            q[rear] = i + 1 - K;
for(j = rear - 1; j > front; j --)
            {
                x = q[j - 1], y = q[j], z = q[j + 1];
if((getf(z) - getf(y)) * (a[y + 1] - a[x + 1]) > (getf(y) - getf(x)) * (a[z + 1] - a[y + 1]))
break;
                q[rear = j] = q[j + 1];
            }
            ++ rear;
        }
    }
    printf("%lld\n", f[N]);
}
int main()
{
int t;
    scanf("%d", &t);
while(t --)
    {
        init();
        solve();
    }
return 0;
}

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