P2387 [NOI2014]魔法森林

最新推荐文章于 2025-07-21 16:08:12 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/LLTYYC/p/10584416.html

本文介绍了一种使用链剖树(LCT)动态维护最小生成树(MST)的方法，该方法适用于边有两个权重限制条件的问题。通过按一个权重排序并枚举边，利用LCT维护另一个权重下的MST，并在加入或替换边时更新最终答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门

如果一条边只要考虑 $a$ 的限制，那么显然最小生成树

但是现在有 $a,b$ 两个限制，所以考虑按 $a$ 从小到大枚举边，动态维护 $b$ 的最小生成树

考虑新加入的一条边 $x,y$ ，如果 $x,y$ 不在一颗树上显然直接加入，如果在一棵树上，考虑原本树上 $x$ 到 $y$ 的路径上 $b$ 最大的边

如果比当前边大，那么就把原本那条边从最小生成树上删除，把新的边加进去

答案就在每次加边时更新就好了

这个东西显然直接 $LCT$ 维护，为了维护边权所以要把边权也看成点

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=4e5+7,INF=1e9+7;
int n,m,ANS=INF;
struct dat{
    int x,y,a,b;
    inline bool operator < (const dat &tmp) const {
        return a<tmp.a;
    }
}d[N];
int c[N][2],fa[N],t[N],val[N];
//把边化成点后,t维护点权最大的点的编号，val[x]存点x的b值
//边的编号为n+1到n+m
bool rev[N];
inline void pushdown(int x)
{
    if(!rev[x]||!x) return;
    int &lc=c[x][0],&rc=c[x][1];
    rev[x]=0; swap(lc,rc);
    if(lc) rev[lc]^=1;
    if(rc) rev[rc]^=1;
}
inline void rever(int x) { rev[x]^=1; pushdown(x); }
inline void pushup(int x)
{
    t[x]=x;
    if(val[ t[c[x][0]] ] > val[t[x]]) t[x]=t[c[x][0]];
    if(val[ t[c[x][1]] ] > val[t[x]]) t[x]=t[c[x][1]];
}
inline bool notroot(int x) { return (c[fa[x]][0]==x)|(c[fa[x]][1]==x); }
inline void rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],d=(c[y][1]==x);
    if(notroot(y)) c[z][c[z][1]==y]=x;
    fa[x]=z; fa[y]=x; fa[c[x][d^1]]=y;
    c[y][d]=c[x][d^1]; c[x][d^1]=y;
    pushup(y); pushup(x);
}
inline void push_rev(int x)
{
    if(notroot(x)) push_rev(fa[x]);
    else pushdown(x);
    pushdown(c[x][0]); pushdown(c[x][1]);
}
inline void splay(int x)
{
    push_rev(x);
    while(notroot(x))
    {
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if(notroot(y))
        {
            if(c[y][0]==x ^ c[z][0]==y) rotate(x);
            else rotate(y);
        }
        rotate(x);
    }
}
inline void access(int x)
{
    for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
        splay(x),c[x][1]=y,pushup(x);
}
inline void makeroot(int x) { access(x); splay(x); rever(x); }
inline int findroot(int x)
{
    access(x); splay(x); pushdown(x);
    while(c[x][0]) pushdown(c[x][0]),x=c[x][0];
    splay(x);
    return x;
}
inline int split(int x,int y) { makeroot(x); access(y); splay(y); return t[y]; }//提取一段路径上点权最大的点的编号
inline void link(int x,int y) { makeroot(x); if(findroot(y)!=x) fa[x]=y; }
inline void cut(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x||fa[y]!=x||c[y][0]) return;
    c[x][1]=fa[y]=0; pushup(x);
}
inline void query(int a)//更新答案
{
    if(findroot(1)==findroot(n))//如果在同一颗树上
    {
        int w=split(1,n);
        ANS=min(ANS,a+val[w]);
    }
}
inline void insert(int i)//加入边
{
    int x=d[i].x,y=d[i].y,a=d[i].a,b=d[i].b; bool flag=1;
    if(findroot(x)==findroot(y))//如果原本已经是一颗树
    {
        int w=split(x,y);
        if(val[w]>b) cut(w,d[w-n].x),cut(w,d[w-n].y);//如果b更小才cut
        else flag=0;//否则不连边
    }
    if(flag) link(n+i,x),link(n+i,y),query(a);//连边并更新ANS
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        d[i].x=read(),d[i].y=read(),d[i].a=read(),d[i].b=read();
    sort(d+1,d+m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++) val[n+i]=d[i].b;
    for(int i=1;i<=m;i++) insert(i);
    printf("%d",ANS <1e9 ? ANS : -1);
    return 0;
}